Изометрическое погружение

- погружение k-мерного метрич. многообразия М к в n-мерное риманово пространство V, [img: http://localhost:8080/file/021004-105.jpg] в виде k-мерной поверхности Ф, при к-ром расстояние между любыми двумя точками на М k совпадает с расстоянием между их образами, измеренным по поверхности Ф в пространстве Vn. Это определение можно обобщить, если риманово пространство заменить более общим метрич. пространством. Частным случаем И. п. является изометрическое вложение - взаимно однозначное погружение. Основными вопросами теории И. п. являются; 1) проблема возможности И. п. данного многообразия в данное пространство; 2) в случае существования И. п.- проблема его единственности. Эти проблемы рассматриваются при различных условиях на многообразие и его изометрич. образ - гладкости, регулярности, аналитичности, выпуклости и т. д. При каждом из перечисленных условий конкретизация основных вопросов теории И. п. производится в следующих аспектах: а) вопрос глобального И. п. М k в Vn;б) вопрос локального И. п. М k в Vn (отыскание И. п. в Vдостаточно малой окрестности отмеченной точки [img: http://localhost:8080/file/021004-106.jpg]); в) в локальном и глобальном случаях отыскание минимального ртакого, что М k погружаемо в евклидово пространство Е k+p размерности k+р (число рназ. классом погружения многообразия М k);г) вопросы изгибания И. п. С аналитич. точки зрения задача нахождения И. п. М k в Vn равносильна решению системы нелинейных уравнений с частными производными. Для И. п. в Е п эта система имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021004-107.jpg] где x={xa(us)} - искомое И. п., gij -метрический тензор многообразия М k в локальных координатах и 1,..., и k. При решении этой системы в глобальном случае используются так наз. свободные отображения хв Е n (см. Нэша теорема о неявной функции). В локальных аналитич. адачах место теоремы о неявной функции занимает Коши - Ковалевской теорема. Роль свободного отображения и теоремы о неявной функции сохраняется и в общем случае для погружений класса С r, [img: http://localhost:8080/file/021004-108.jpg], r=a, в римановы и псевдоримановы пространства. И. п. класса С 1 используют иные методы, основанные на деформации погружения, позволяющей менять погружения и следить за изменением метрики. При исследованиях И. п. в Е п используется также система уравнений Гаусса - Петерсона - Кодацци. Глобальные изометрические погружения. Всякое компактное риманово многообразие М k класса С([img: http://localhost:8080/file/021004-109.jpg])допускает изометрич. вложение класса С в любой шар пространства Е п, где п [img: http://localhost:8080/file/021004-110.jpg] (3k2+11k)/2; если М k некомпактно, то оно допускает вложение класса [img: http://localhost:8080/file/021004-111.jpg] в любую часть пространства Е n, где [img: http://localhost:8080/file/021004-112.jpg] и п [img: http://localhost:8080/file/021004-113.jpg] (3k2+11k) (k+l)/2 (см. [6]). Размерность пространства Е п снижается в случаях r= [img: http://localhost:8080/file/021004-114.jpg] и r=а:всякое риманово многообразие Mk (компактное или нет, с краем или без края) класса С(С а)допускает изометрич. вложение класса [img: http://localhost:8080/file/021004-115.jpg] в Е п, где [img: http://localhost:8080/file/021004-116.jpg] Для k-мерного гиперболич. пространства (k>2) получено в явном виде изометрич. вложение класса С в Е 6k-5, а для k-мерного эллиптич. пространства (k>2) - изометрич. вложение класса Св Е п, п=k(k+3)/2. В перечисленных результатах гладкость поверхности Ф не выше, чем гладкость погружаемой метрики. Этот факт не является случайным: именно, всякая k-мерная ([img: http://localhost:8080/file/021004-117.jpg]) поверхность Ф класса [img: http://localhost:8080/file/021004-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021004-119.jpg] в Е п является И. п. класса С- а нек-рого риманова многообразия М к класса С> а (см. [8]). Нижняя граница для размерности пространства Е п, в к-рое можно осуществить И. п. риманова многообразия, дается теоремой: пусть компактное риманово многообразие М к класса С 4 обладает следующим свойством: в каждой точке М к существует q-плоскость такая, что в ней все кривизны по всем двумерным направлениям неположительны; тогда М к не допускает И. п. класса С 4 в любое Е" с [img: http://localhost:8080/file/021004-120.jpg] если условие, наложенное на кривизну многообразия М к, распространяется на одну точку и д=п, то существует И. п. класса С 4 в Е'2к~2. Так, напр., плоский ^-мерный тор не допускает И. п. класса С 4 в E2k-1; если k - степень двойки, то действительное проективное пространство RPk, снабженное метрикой со всюду положительной скалярной кривизной, в частности k-мерное эллиптич. пространство, не допускает изометрич. вложения класса С 2 в Е 2k. продолжение Изометрическое погружение... Результаты, относящиеся к И. п. класса С 1, резко отличаются от предыдущих. Они формулируются в следующем виде: если компактное риманово многообразие М k класса С 0 (с границей или без нее) допускает погружение класса С 1 в Е п при [img: http://localhost:8080/file/021005-3.jpg] то оно также допускает И. п. класса С 1 в Е п;если некомпактное риманово многообразие М к класса С 0 допускает короткое погружение (т. е. не удлиняющее в каждой точке линейный элемент) класса С 1 в Е п, [img: http://localhost:8080/file/021005-4.jpg] не пересекающее свое предельное множество, то оно допускает также И. п. класса С 1 в Е n (см. [7]) (здесь предельное множество погружения многообразия М k в Е n есть совокупность точек хпространства Е п, для каждой из к-рых в М k существует расходящаяся последовательность, образ к-рой сходится в Е п к х). В частности, любое компактное риманово многообразие М k класса С 0 (с границей или без нее) допускает И. п. класса С 1 в Е 2k;любое некомпактное риманово многообразие класса С 0 допускает И. п. класса С 1 в E2k+1. Если И. п. (изометрич. вложения) класса С 1 риманова многообразия М k в Е п с n>k можно соединить короткой регулярной гомотопией (короткой диффеотопией), то их можно соединить изгибанием, составленным из И. п. (изометрич. вложений) класса С 1. В частности, в компактном случае И. п. (изометрич. вложения) класса С 1 тогда и только тогда можно соединить изгибанием, составленным из И. п. (изометрич. вложений) класса С 1, когда они регулярно гомотопны (диффеотопны). Локальные изометрические погружения. В 1873 Л. Шлефли (L. Schlafli) высказал гипотезу, согласно к-рой всякое риманово многообразие размерности кдопускает локальное И. п. в евклидово пространство Е n, где п=k(k+1)/2. Эта гипотеза доказана лишь для аналитич. многообразий (см. Жане теорема);более того, во всяком римановом многообразии М k класса С а с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. вложение класса Св Е п, п=k(k+1)/2. В римановом пространстве М k класса С с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. вложение класса С°° в Е n, где n = k(k+1)/2+k (см. [7]). С другой стороны, у всякого риманова многообразия класса С 0 с отмеченной точкой существует окрестность ее, допускающая изометрич. вложение класса С 1 в Ek+1. Несколько иное направление составляет отыскание условий, при к-рых данное многообразие Мимеет *И. п. в Е n, где n<k(k+1)/2. Это связано с тем, что не всякое риманово многообразие М k допускает И. п. в Е n:при [img: http://localhost:8080/file/021005-5.jpg] множество римановых метрик, локально индуцируемых на гладком многообразии М k с. отмеченной точкой локальными вложениями класса С в Е n, п<k(k+1)/2, нигде не плотно во множестве всех римановых метрик класса С l на М k, снабженном обычной С l -топологией; при r=2 и [img: http://localhost:8080/file/021005-6.jpg] утверждение остается верным, если n и kсвязаны неравенством [img: http://localhost:8080/file/021005-7.jpg] При решении задачи об определении класса (см. выше) И. п. многообразия минимальное р, найденное в локальной постановке, оценивает снизу значение ри для глобального И. п. Однако точное значение наименьшего р, при к-ром любое многообразие М k, k>2, класса С r, [img: http://localhost:8080/file/021005-8.jpg] допускает И. п. класса С r в Е k+ Р, неизвестно. Имеются нек-рые частные приемы вычисления класса И. п. данного риманова многообразия М k в пространство Е п. Так, р=0 в том и только в том случае, если тензор кривизны многообразия М k тождественно равен нулю. Существует алгебраич. критерий, позволяющий установить, будет ли класс И. п. данного многообразия равен 1, и основанный на том факте, что для метрик класса 1 при нек-рых дополнительных условиях уравнения Петерсона - Кодацци являются следствием уравнений Гаусса [И]. В частности, метрики постоянной положительной кривизны имеют класс 1 и реализуются при k>3 в виде гиперсфер евклидова пространства. Но если Риччи кривизна для М k равна нулю, то [img: http://localhost:8080/file/021005-9.jpg] Почти все изложенные результаты обобщаются на И. п. одного риманова пространства в другое. Так, напр., обстоит дело с погружениями класса С 1, с локальными И. п., с достаточно гладкими И. п. k-мерных многообразий в Vn большой размерности, со связями между порядками гладкости поверхности и ее метрики и т. д. Задачи И. п. переносятся на псевдоримановы многообразия. В этом случае кроме размерностей ки пучитываются размерности k+ и k-=k-k+ положительной и отрицательной части метрич. тензора на погружаемом многообразии М k и соответствующие размерности п + и n_ = n-п + объемлющего пространства V". Так, теорема Жане сохраняется в псевдоримановом случае при [img: http://localhost:8080/file/021005-10.jpg] Изометрические погружения двумерных многообразий. Многие задачи этого типа получили законченное решение в том смысле, что пространство, в к-ром строится погружение, имеет минимальную размерность. Здесь разработаны специальные методы решения, основанные на о. Вейля проблема, поставленная в 1916, гласит: допускает ли двумерное риманово многообразие М 2 И. п. в Е 3, если оно гомеоморфно сфере и имеет положительную гауссову кривизну? Полное решение проблемы Вейля, обобщенной в том смысле, что речь идет об И. п. М 2 в трехмерное риманово пространство V3, дано А. В. Погореловым [3]: пусть V3- полное трехмерное риманово пространство, М 2+- замкнутое гомеоморфное сфере риманово многообразие с гауссовой кривизной, всюду большей нек-рой постоянной k0 (большей, меньшей или равной нулю); тогда, если кривизна пространства всюду меньше k0, то M2+ допускает И. п. в виде регулярной поверхности Ф. Это погружение можно осуществить так, чтобы данный двумерный элемент aмногообразия Mk (точка и пучок направлений в ней) совпал бы с данным изометричным адвумерным элементом а' в пространстве V3, и поверхность располагалась бы по заданную сторону от. С совершенно иной точки зрения проблема Вейля исследована А. Д. Александровым, к-рый построил теорию (нерегулярных) двумерных многообразий с выпуклой метрикой[4] (такие многообразия можно определить путем предельного перехода от регулярных многообразий с положительной гауссовой кривизной) и наметил следующий план решения проблемы Вейля: 1) обобщить постановку проблемы, беря в качестве М 2 многообразие с произвольной, вообще говоря, нерегулярной выпуклой метрикой; 2) затем установить регулярность И. п. в зависимости от регулярности метрики М 2. Осуществление (им же) первой части этого плана привело к исчерпывающему результату: всякое гомеоморфное сфере многообразие с выпуклой метрикой допускает И. п. в Е 3 в виде замкнутой выпуклой поверхности. Реализация второй части плана, проведена А. В. Погореловым в [3], где полностью решен вопрос о регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой: если выпуклая поверхность [img: http://localhost:8080/file/021005-13.jpg] имеет метрику класса С k, a, [img: http://localhost:8080/file/021005-14.jpg] 0<a<1, и положительную гауссову кривизну, то Ф принадлежит классу Ck, a. Если метрика поверхности Ф - аналитическая, то и поверхность Ф - аналитическая. Сходные теоремы имеют место для выпуклых поверхностей в пространстве постоянной кривизны. При определенных условиях существуют И. п. двумерных римановых многообразий положительной гауссовой кривизны, гомеоморфных плоскости или кругу. Наряду с этим построены примеры аналитич. метрик положительной кривизны, заданных в круге и не допускающих И. п. класса С 2 в Е 3. Теорема Гильберта о непогружаемости класса С 2 в Е 3 плоскости Лобачевского естественно привела к вопросу, погружаются ли в Е 3 какие-либо полные двумерные метрики с кривизной, ограниченной сверху отрицательной константой (так наз. метрики типа L)? Решение этой проблемы дано Н. В. Ефимовым [14]: если Ф - полная поверхность класса С 2 в Е 3 с гауссовой кривизной К(х), то [img: http://localhost:8080/file/021005-15.jpg] так что, в частности, метрики типа А не допускают И. п. в Е 3. В связи с этой теоремой представляет интерес вопрос о том, какие части метрик типа А (т. е. области двумерного многообразия, на к-ром задается двумерная метрика) могут быть погружены в Е 3. Определенный ответ на этот вопрос получен в [15]. Пусть в бесконечной полосе [img: http://localhost:8080/file/021005-16.jpg] плоскости Е 2 с декартовыми координатами х, у задана форма ds2=dx2+B2(x, у) dy2, причем функция [img: http://localhost:8080/file/021005-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021005-18.jpg] и обладает следующими свойствами: а) она сама, все ее производные до г-го порядка, а также константы Липшица по удля производных по уот производных (r-1)-го порядка ограничены в П a; б) inf B>0; в) гауссова кривизна [img: http://localhost:8080/file/021005-19.jpg] Тогда форма ds2 порождает на многообразии с краем П а риманову структуру класса С r,1, и полученное риманово многообразие допускает И. п. класса С r,1, [img: http://localhost:8080/file/021005-20.jpg] в Е 3. В частности, существует И. п. любого геодезич. круга с произвольной (регулярной) метрикой отрицательной кривизны. Имеется ряд теорем об И. п. в Е 3 некомпактных частей метрик отрицательной кривизны [5]. Даны также оценки размеров области, на к-рую однозначно проектируется поверхность отрицательной (и отделенной от нуля) кривизны. Так как метрики типа А в целом в Е 3 не погружаются, то ставится вопрос об И. п. этих метрик в евклидовы пространства больших размерностей. В этом направлении имеются лишь частные результаты; так, напр., существует изометрич. вложение класса С°° плоскости Лобачевского в E6 и И. п. в Е 5;дан пример регулярной метрики типа Л, допускающей И. п. в E4; неизвестно, однако, допускает ли плоскость Лобачевского И. п. класса С, [img: http://localhost:8080/file/021005-21.jpg] в Е 4. Вопрос И. п. в Е 3 метрик знакопеременной кривизны остается открытым даже в случае локальной проблемы. Так, напр., построен [16] пример двумерного риманова многообразия класса С 2, 1, не допускающего локального И. п. класса С 2, 1 в Е 3. Вместе с тем задача о реализации аналитич. метрик знакопеременной кривизны решается следующей теоремой [17]: пусть в прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/021005-22.jpg] плоскости Е 2 задана метрика ds2=dx2+В 2(х, у)dy2 и пусть В(х, у)- аналитич. функция в нек-ром открытом прямоугольнике, содержащем П а, b; тогда аналитическое риманово многообразие с краем, порожденное на П аb, заданной метрикой, допускает аналитич. И. п. в Е 3. Имеется ряд результатов, касающихся И. п. регулярных метрик знакопеременной кривизны в евклидово пространство более высокой (но близкой к трем) размерности. Так, если М 2- полное риманово многообразие класса С 3,a, гомеоморфное плоскости, то любая его компактная часть допускает И. п. класса С 2, a в E4; гомеоморфное тору риманово многообразие также допускает И. п. в Е 4. Всякое компактное двумерное риманово многообразие класса [img: http://localhost:8080/file/021005-23.jpg] допускает И. п. (и даже вложение) класса С (С a)в Е 10, а если оно не имеет замкнутых компонент, то - в Е 9. Двумерная сфера с произвольной римановой метрикой класса [img: http://localhost:8080/file/021005-24.jpg] допускает И. п. класса [img: http://localhost:8080/file/021005-25.jpg] в E7. а поверхность Клейна и лист Мёбиуса - И. п. в Е 4. Если отказаться от регулярности погружения, то всякая двумерная риманова метрика класса С r, [img: http://localhost:8080/file/021005-26.jpg] допускает И. п. класса С 1 в Е 3. Однако при этом будут нарушены обычные связи между внутренней и внешней геометрией поверхности, реализующей метрику. Построено локальное И. п. метрики двумерной сферы в виде локально невыпуклой поверхности в Е 3 класса С 1-01 при любом [img: http://localhost:8080/file/021005-27.jpg] и аналогичное И. п. в целом при [img: http://localhost:8080/file/021005-28.jpg] С другой стороны, если поверхность Ф принадлежит классу С 1, a, [img: http://localhost:8080/file/021005-29.jpg] то поверхность Ф, имеющая знакопостоянную внутреннюю кривизну, будет иметь ограниченную внешнюю кривизну. В частности, если внутренняя кривизна Ф положительна, то Ф будет локально выпуклой поверхностью, и если сверх того метрика поверхности регулярна, то регулярна и сама поверхность. Таким образом, нижняя грань значений а, при к-рых сохраняются связи между внутренней и внешней геометрией поверхности Ф класса С 1,a со знакопостоянной внутренней кривизной, принадлежит отрезку [img: http://localhost:8080/file/021005-30.jpg] Наконец, все ориентируемые многообразия ограниченной внешней кривизны, не имеющие точек с кривизной 2p, допускают изометрич. вложения в Е 3 в виде дифференцируемых поверхностей. При исследовании нерегулярных И. п. изучались также кусочно линейные И. п. кусочно линейных метрик: так, всякая развертка, гомеоморфная замкнутой области на ориентируемой замкнутой поверхности, может быть изометрич. вложена в Е 3 в виде многогранника.