Изопериметрическое неравенство классическое

- неравенство между объемом Vобласти в евклидовом пространстве Rn, [img: http://localhost:8080/file/021005-82.jpg] и (n- 1)-мерной площадью F, ограничивающей область гиперповерхности: [img: http://localhost:8080/file/021005-83.jpg] где vn- объем единичного re-мерного шара. Равенство в И. н. к. имеет место только для шара. И. н. к. дает решение иаопериметрической задачи. Для n=2, 3 И. н. к. известно с глубокой древности. Строгое доказательство И. н. к. для n=2 дано Ф. Эдлером (F. Edler) в 1882, для га-3 - Г. Шварцем (Н. Schwarz) в 1890 и для всех [img: http://localhost:8080/file/021005-84.jpg] - Л. А. Люстерциком в 1935 и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1939 (см. [1], [2], [3]). В двумерном случае есть много доказательств И. н. к. (см. [4]), при n>2 известно лишь два подхода. Первый - метод симметризации, предложенный Я. Штейнером (J. Steiner). Э. Шмидт, используя этот метод, получил аналоги И. н. к. (и неравенства Брунна - Минковского) для сферического и гиперболического га-мерных пространств (см. [5]). Второй подход состоит в сведении И. н. к. к Брунна - Минковского неравенству (см. Брунна- Минковского теорема). и использовании метода пропорционального деления объемов. При таком подходе естественно возникает более общее неравенство [img: http://localhost:8080/file/021005-85.jpg] для объемов V(A), V(B)двух множеств и площади F(A, В)по Минковскому множества Апо отношению к В. Неравенство (*) допускает интерпретацию как И. н. к. в пространстве Минковского; равенство при фиксированном "шаре" Минковского В достигается, вообще говоря, не для единственного тела А, причем эти тела отличны от "шара" (см. [6]). Имеется ряд обобщений И. н. к., при к-рых рассматриваются не области с кусочно гладкой границей, а более широкие классы множеств, причем площадь границы понимается в обобщенном смысле (площадь Минковского, площадь но Лебегу, периметр множества по Каччопполи - Де Джорджи, масса потока, см. [7], [8]). И. н. к. остается справедливым во всех этих случаях, а также для гиперповерхностей с самопересечениями и соответствующего им ориентированного объема (см. [9]). Эти обобщения получаются из И. н. к. предельным переходом при различных вариантах понятия сходимости. Для изопериметрич. разности Fn-nnvnVn-1, как и для изопериметрич. отношения FnV1-n, известны оценки, усиливающие И. н. к. (см. [2]). Часть таких оценок получена для множеств специального вида, в первую очередь для выпуклых множеств и многогранников (см. [10]). Напр., Боннезена неравенство для плоских фигур: [img: http://localhost:8080/file/021005-86.jpg] где r - радиус наибольшего вписанного круга, и его обобщение (см. [11]) для выпуклых тел в Rn: [img: http://localhost:8080/file/021005-87.jpg] Здесь q=max {l|lBможно поместить в А}. Относительная изопериметрич. разность выпуклых тел Fn(A, B) - nnVn-1(A)V(B) может служить мерой их негомотетичности (см. [12]). Это используется, напр., при доказательстве теоремы устойчивости в проблеме Минковского (см. [13]). Об обобщениях И. н. к. на пространства переменной кривизны и родственных им неравенствах см. ст. Изопериметрическое неравенство.