Изотропии представление

- естественное линейное представление изотропии группы в касательном пространстве к многообразию. Если G- группа дифференцируемых преобразований многообразия Ми Gx- соответствующая группа изотропии в точке хО М, то И. п. Isx: [img: http://localhost:8080/file/021006-50.jpg] сопоставляет каждому hО Gx дифференциал lsx(h) = dhx преобразования hв точке х. Образ И. п. Isx(Gx). наз. линейной группой изотропии в точке х. В случае, когда G- группа Ли со счетной базой, гладко и транзитивно действующая на М, касательное пространство Т x М естественно отождествляется с пространством g/gx, где [img: http://localhost:8080/file/021006-51.jpg] - алгебры Ли групп [img: http://localhost:8080/file/021006-52.jpg] И. п. Isx отождествляется при этом с представлением [img: http://localhost:8080/file/021006-53.jpg] к-рое индуцируется ограничением присоединенного представления AdG группы Gна Gx. Если однородное пространство Мредуктивно, т. е. g=gx+m, где m- подпространство, инвариантное относительно AdG(Gx), то Т х М отождествляется с т,a Isx -с представлением [img: http://localhost:8080/file/021006-54.jpg] (см. [3]). В этом случае И. п. является точным, если Gдействует эффективно. И. п. и линейная группа изотропии играют важную роль при изучении инвариантных объектов на однородных пространствах. Инвариантные тензорные поля на однородном пространстве Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с тензорами в пространстве Т x М, инвариантными относительно И. п. В частности, М обладает римановой инвариантной метрикой тогда и только тогда, когда в Т x М существует евклидова метрика, инвариантная относительно линейной группы изотропии. Существование на однородном пространстве Мположительной инвариантной меры равносильно условию |det A| = l для всех [img: http://localhost:8080/file/021006-55.jpg] Однородное пространство ориентируемо тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021006-56.jpg] Инвариантные линейные связности на Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями [img: http://localhost:8080/file/021006-57.jpg] обладающими следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/021006-58.jpg] Обобщением понятия И. п. является понятие И. п. порядка r. Это гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021006-59.jpg] группы Gx в группу Lr(Т x М). обратимых r-струй диффеоморфизмов пространства Т x М, переводящих в себя нуль. Это понятие применяется при изучении инвариантных объектов высших порядков.