Инвариантность статистической процедуры

- эквивариантность (см. ниже) какого-либо решающего правила в статистич. задаче, постановка к-рой допускает группу Gсимметрии, относительно этой группы G. Понятие И. с. п. возникает в первую очередь в так наз. параметрич. задачах математич. статистики, когда имеется априорная информация: распределение вероятностей Р(dm)исходов ш наблюдений принадлежит известному семейству {Рq, [img: http://localhost:8080/file/021007-145.jpg] }. Говорят, что статистич. проблема решения G-э квивариантна относительно группы Gизмеримых преобразований gизмеримого пространства (W, BW). исходов, если выполнены условия: 1) существует гомоморфизм f группы Gна нек-рую группу Gпреобразований пространства в параметров со свойством [img: http://localhost:8080/file/021007-146.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021007-147.jpg] 2) существует гомоморфизм hгруппы Gна нек-рую группу Gизмеримых преобразований измеримого пространства (D, В D) решений d, [img: http://localhost:8080/file/021007-148.jpg] со свойством [img: http://localhost:8080/file/021007-149.jpg] где L(Q, d)- функция потерь; 3) вся дополнительная априорная информация о возможных значениях параметра (априорная плотность р(0), разбиение на альтернативы Q=QЪ... ЪQs и т. п.) G-инвариантна или G-эквивариантна. При этих условиях решающее правило d: [img: http://localhost:8080/file/021007-150.jpg] безразлично детерминированное или рандомизированное, наз. инвариантной (точнее G-э квивариантной) процедурой, если [img: http://localhost:8080/file/021007-151.jpg] Риск [img: http://localhost:8080/file/021007-152.jpg] эквивариантной решающей процедуры d является G-инвариантом, в частности он не зависит от q, если группа Gдействует на в транзитивно. Как правило, в параметрич. задачах не существует гарантированно наилучшей решающей процедуры, к-рая минимизировала бы риск при каждом значении параметра [img: http://localhost:8080/file/021007-153.jpg] В частности, процедура может приводить к очень малым значениям риска для нек-рых 6 за счет ухудшения качества при других априори столь же возможных значениях параметра. Эквивариантность в какой-то степени обеспечивает беспристрастность подхода. Когда группа Gдостаточно богата, существует оптимальная инвариантная процедура с равномерно наименьшим среди инвариантных процедур риском. Инвариантные процедуры широко применяются в проверке гипотез (см. также Инвариантный критерий)и в оценивании параметра закона распределения. Так, в задаче оценки неизвестного вектора средних для семейства m-мерных нормальных законов [img: http://localhost:8080/file/021007-154.jpg] с единичной матрицей ковариаций и гауссовой функцией потерь [img: http://localhost:8080/file/021007-155.jpg] оптимальной эквивариантной оценкой будет обычное выборочное среднее [img: http://localhost:8080/file/021007-156.jpg] Группой Gздесь служит произведение группы SN перенумерации наблюдений и группы Ort (m) движений евклидова пространства Rm; [img: http://localhost:8080/file/021007-157.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/021007-158.jpg] в задаче существуют неэквивариантные оценки, приводящие к меньшему, чем у х*, риску при всех a, однако область существенной "сверхэффективности" оказывается незначительной и безгранично уменьшается с ростом объема Nвыборки. Возможность сверхэффективных процедур связана с некомпактностью G. Эквивариантные статистич. процедуры возникают также в ряде непараметрич. задач статистики, когда априорное семейство распределений Рисходов существенно бесконечномерно, а также при построении доверительных множеств,для параметра 0 распределения при наличии мешающих параметров.