Инвариантный дифференциальный оператор

- оператор, не меняющий своего вида при тех или иных преооразованиях пространства, в к-ром он определен. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/021008-9.jpg] - оператор с частными производными, записанный в некоторой системе координат (х 1,..., х п), а х k=jk (у), y= (у 1,..., у п)- некоторое преобразование координат, порождающее соответствующее отображение j* в множестве функций и(х)(каждой функции и(х)сопоставляется естественным образом функция j*u(y)), и [img: http://localhost:8080/file/021008-10.jpg] причем оператор Lв правой части этого равенства выражается через д/ду k так же, как оператор Lчерез д/дх k в левой, то говорят, что Lинвариантен относительно преобразования j (или Lперестановочен с оператором преобразования j*). Наиболее важен случай, когда И. д. о. инвариантен относительно нек-рой совокупности преобразований, образующей группу. Определение И. д. о. существенно усложняется при рассмотрении систем функций, преобразующихся по нек-рому представлению этой группы преобразований. И. д. о., связанные с группой Лоренца и ортогональной группой (волновой оператор, операторы Клейна - Гордона, Лапласа и др.) играют важнейшую роль в математич. физике. В анализе на дифференцируемых многообразиях широко используются оператор внешнего дифференцирования d, инвариантный относительно диффеоморфизмов, и метрически сопряженный с ним оператор d, инвариантный относительно гладких преобразований, сохраняющих метрический тензор. В теории групп Ли весьма важны так наз. лево- или правоинвариантные операторы относительно соответствующих сдвигов на группе.