Инверсная полугруппа

- полугруппа, в к-рой для любого элемента асуществует единственный инверсный к нему элемент а -1 (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть инверсной эквивалентно каждому из следующих: S регулярная полугруппа и любые два ее идемпотента перестановочны (таким образом, множество всех идемпотентов И. п. есть полурешетка, см. Идемпотентов полугруппа);каждый левый и каждый правый главные идеалы полугруппы Sимеют единственный порождающий идемпотент. Всякая группа будет И. п., группы и только они являются И. п. с единственным идемпотентом. Важную роль при изучении И. п. играет следующее отношение остественного частичного порядка [img: http://localhost:8080/file/021008-49.jpg] на произвольной И. п. S: [img: http://localhost:8080/file/021008-50.jpg] тогда и только тогда, когда ab-1=aa-1 (а, [img: http://localhost:8080/file/021008-51.jpg]). На полурешетке идемпотентов И. п. оно совпадает с естественным частичным порядком этой полурешетки (см. Идемпотент). Полурешетка инверсных полугрупп (см. Связка полугрупп). будет И. п. Сдвиговая оболочка И. п. (см. Сдвиги полугрупп)также будет И. п. [7]. Всякая конгруэнция на И. п. определяется своими классами, содержащими идемпотенты. Пусть JX- множество всех взаимно однозначных частичных преобразований множества X(включая и "пустое преобразование" - отображение пустого множества на себя). Относительно операции суперпозиции множество JX является И. п., к-рая наз. симметрической И. п. на множестве X. Принципиальное значение имеет следующая теорема Вагнера - Престона: произвольная И. п. Sизоморфно вложима в симметрическую И. п. JS Теория И. п. представляет собой один из важных и глубоко разработанных разделов теории полугрупп. Изучены представления И. п. взаимно однозначными частичными преобразованиями и матрицами над полем (см. [1]). Исследуются конгруэнции на И. п. Изучаются И. п. с условиями конечности. Выделен целый ряд важных специальных типов И. п. Накладываемые при этом ограничения по большей части либо носят характер простоты в нек-ром смысле (напр., бипростота, см. Простая полугруппа), Либо относятся к полурешетке идемпотентов Е, либо являются комбинациями условий обоих типов. Ограничения на Емогут касаться абстрактных свойств Екак полурешетки (например, Е- цепь специального вида), либо тех или иных относительных свойств Ев полугруппе, в частности поведения Еотносительно нек-рых конгруэнции. На любой И. п. Sсуществует наименьшая конгруэнция sс тем свойством, что S/sесть группа (наименьшая групповая конгруэнция), причем [img: http://localhost:8080/file/021008-52.jpg] И. п. наз. с-о бственной, если Есоставляет s-класс. На любой И. п. Sсуществует наибольшая конгруэнция m, разделяющая идемпотенты, причем [img: http://localhost:8080/file/021008-53.jpg] и mсодержится в отношении [img: http://localhost:8080/file/021008-54.jpg] (см. Грина отношения эквивалентности);И. п. наз. фундаментальной, если m совпадает с отношением равенства. Для упомянутых типов И. п. получено немало структурных теорем. При этом во многих случаях описание И. п. осуществляется "по модулю групп": группы выступают в качестве блоков различных конструкций, в к-рых участвуют также полурешетки, гомоморфизмы групп и т. п. Таковы, напр., типичные описания клиффордовых И. п. (см. Клиффордова полугруппа)и вполне О-простых И. п. (см. Брандта полугруппа). И. п. можно рассматривать и как универсальные алгебры с двумя операциями: бинарной - умножением и унарной - взятием инверсного элемента. Получена классификация моногенных (т. е. порожденных одним элементом) И. п. как таких алгебр [6], [9]. Относительно указанных операций класс всех И. п. является многообразием; он может быть задан, напр., следующей системой тождеств [8]: [img: http://localhost:8080/file/021008-55.jpg]