Индекс

числа а по модулю т- показатель ув сравнении a=gg(mod m), где аи твзаимно просты, а g- некоторый фиксированный первообразный корень по модулю т. И. числа апо модулю тобозначается через g=indg а или, более кратко, у=ind а. Первообразные корни существуют только для модулей вида m=2, 4, р a, 2рa, где р>2 - простое число, и следовательно, только для таких модулей определено понятие И. Если g- первообразный корень по модулю ти упробегает значения 0, 1,..., j(m)-1, где j(т).- Эйлера функция, то gg пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Следовательно, каждому числу а, взаимно простому с га, соответствует единственный индекс у такой, что [img: http://localhost:8080/file/021009-35.jpg] Любой другой индекс g' числа аудовлетворяет сравнению g'=g mod j(т). Поэтому И. числа аобразуют класс вычетов по модулю j(m). Понятие И. аналогично понятию логарифма и И. обладает рядом свойств логарифма, а именно: [img: http://localhost:8080/file/021009-36.jpg] где alb означает корень сравнения bx=a(mod m). Если m=2ap1a1... pass- каноническое разложение произвольного натурального числа ти g1,..., gs- первообразные корни по модулям р a11,..., pass соответственно, то для всякого а, взаимно простого с т, существуют целые числа g, g0, g1,..., gs такие, что [img: http://localhost:8080/file/021009-37.jpg] Указанная система g,g0,g1,..., ls наз. системой индексов числа апо модулю т. Каждому числу а, взаимно простому с т, соответствует единственная система индексов g, g0, g1,..., gs такая, что [img: http://localhost:8080/file/021009-38.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021009-39.jpg] i=1, 2,..., s, а с и с 0 определены следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021009-40.jpg] Всякая другая система g',g'0,g'1,..., у'3 И. числа a удовлетворяет сравнениям [img: http://localhost:8080/file/021009-41.jpg] Понятие системы И. числа апо модулю тудобно для явного построения характеров мультипликативной группы приведенных классов вычетов по модулю т.