Индуцированное представление

- представление p локально компактной группы G, индуцированное представлением р ее замкнутой подгруппы Н, точнее, представление p группы Gв нек-ром пространстве Ефункций f на группе G, принимающих значения в пространстве Vпредставления р и удовлетворяющих условию f(hg)=r(h)f(g). для всех [img: http://localhost:8080/file/021010-77.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021010-78.jpg] причем [p(g1)f](g) = f(gg1)для всех [img: http://localhost:8080/file/021010-79.jpg] g, И. [img: http://localhost:8080/file/021010-80.jpg] п. я обычно обозначается [img: http://localhost:8080/file/021010-81.jpg] Операция построения И. п. является простейшим и важнейшим приемом построения представлений более сложных групп, исходя из представлений более простых групп, и для широких классов групп полное описание неприводимых представлений может быть дано в терминах И. п. или их обобщений. Если G- конечная группа, то индуцирующее представление р предполагается конечномерным, а в качестве пространства Vрассматривается пространство всех функций f на группе G, принимающих значения в Vи удовлетворяющих условию f(hg)=p(h)f(g). Представление [img: http://localhost:8080/file/021010-82.jpg] где р - единичное представление единичной подгруппы {е}, есть правое регулярное представление группы G;представление [img: http://localhost:8080/file/021010-83.jpg] эквивалентно представлению р. Представление [img: http://localhost:8080/file/021010-84.jpg] эквивалентно представлению sв пространстве Wвсех функций на однородном пространстве [img: http://localhost:8080/file/021010-85.jpg] со значениями в V, определенному формулой вида [s(g)f](x) = a(g, x) f(xg), причем функция аопределяется следующим образом: если s: [img: http://localhost:8080/file/021010-86.jpg] - некоторое отображение, удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/021010-87.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021010-88.jpg] то a(g, x)=p(h), где s(x)g=hs(xg)для всех [img: http://localhost:8080/file/021010-89.jpg] Функция аявляется одномерным коциклом группы Gс коэффициентами в группе функций на Xсо значениями в обратимых операторах в V. Если rt эквивалентно представлению r2, то Ind r1 эквивалентно Ind r2; представление [img: http://localhost:8080/file/021010-90.jpg] эквивалентно представлению [img: http://localhost:8080/file/021010-91.jpg] Если К, И - подгруппы группы G, K М H, и r - представление группы К, то представление группы G, индуцированное представлением [img: http://localhost:8080/file/021010-92.jpg] группы Н, эквивалентно представлению [img: http://localhost:8080/file/021010-93.jpg] (теорема о сквозном индуцировании). Если p, r - представления группы Gи ее подгруппы Нсоответственно, то пространства сплетающих операторов Ноm (я, [img: http://localhost:8080/file/021010-94.jpg]) и [img: http://localhost:8080/file/021010-95.jpg] изоморфны, где p|H- сужение представления p на подгруппу Н(теорема двойственности Фробениуса); в частности, если я и р неприводимы, то я входит в Ur с той же кратностью, с к-рой р входит в p|H. Характер cp И. п. p=Ur группы Gопределяется формулой: [img: http://localhost:8080/file/021010-96.jpg] где cr -характер представления р группы Н, продолженный нулем на всю группу G, а d пробегает набор представителей правых смежных классов группы Gпо подгруппе Н. Пусть Н, К- подгруппы группы G, r - представление группы Н, [img: http://localhost:8080/file/021010-97.jpg]. для всех gО G и pg- представление группы К, индуцированное представлением rg группы Gg, определяемым формулой pg(x)=p(gxg-1), x О Gg;. тогда представление pg однозначно определяется двойным классом HgK, содержащим элемент g, и сужение И. п. HUPG на подгруппу Кэквивалентно прямой сумме представлений pg, где сумма берется по множеству представителей всевозможных двойных классов HgK, g О G (теорема об ограничении И. п. на подгруппу). Эта теорема может быть применена, в частности, к разложению тензорного произведения И. п. Пространство операторов, сплетающих данные И. п., допускает явное описание. Представление p группы Gтогда и только тогда эквивалентно И. п. вида HUPG для нек-рых Ни р, когда существует такое отображение Рмножества подмножеств пространства HGв множество проекторов в пространстве Епредставления я, что 1) Р(ф)= 0, P(HG)=1;.2) если М, N МHG и [img: http://localhost:8080/file/021010-98.jpg] то Р([img: http://localhost:8080/file/021010-99.jpg])=P{M)+P(N);.3) Р{ [img: http://localhost:8080/file/021010-100.jpg])=P(M)P(N). для всех М, N МHG;.4) P(Mg)=p-1(g)P(M)p(g). для всех MМHG, g О G (такое отображение Рназ. системой импримитивности для представления л с базой [img: http://localhost:8080/file/021010-101.jpg] И. п. конечной группы может быть непосредственно описано в терминах модулей над групповой алгеброй, а также может быть определено в категорных терминах. Конечная группа наз. мономиальной, если любое ее неприводимое представление индуцировано одномерным представлением нек-рой подгруппы. Всякая мономиальная группа разрешима; всякая нильпотентная группа мономиальна. Определение И. п. локально компактной группы Gсущественно зависит от выбора пространства Е;напр., в качестве Ечасто рассматривается пространство всех непрерывных функций на G, удовлетворяющих условию f(hg) = p(h)f(g), или (если G- группа Ли) пространство всех дифференцируемых функций на G, удовлетворяющих тому же условию. С другой стороны, пусть р - непрерывное унитарное представление замкнутой подгруппы [img: http://localhost:8080/file/021010-102.jpg] в гильбертовом пространстве V, пусть s- измеримое отображение локально компактного пространства [img: http://localhost:8080/file/021010-103.jpg] в G, удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/021010-104.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021010-105.jpg] пусть DG, DH- модули групп (см. Хаара мера) G И Нсоответственно и vs - такая G-квазиинвариантная мера на X, что [img: http://localhost:8080/file/021010-106.jpg] где s(x)g=hx, gs(xg)для всех хО Х, g ОG;пусть L2(G, Н,r) - гильбертово пространство измеримых вектор-функций Fна группе Gсо значениями в V, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/021010-107.jpg] для всех hО H, g ОGи таких, что интеграл [img: http://localhost:8080/file/021010-108.jpg] сходится; непрерывное унитарное представление p группы Gв L2(G, H, р), определенное формулой [img: http://localhost:8080/file/021010-109.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021010-110.jpg] наз. унитарным индуцированным представлением локально компактной группы G. Большая часть результатов об И. п. конечных групп допускает обобщение на случай унитарных И. п. локально компактных групп, в том числе свойства представлений [img: http://localhost:8080/file/021010-111.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021010-112.jpg] связь И. п. с коциклами на группе G, теоремы о сквозном индуцировании и об ограничении И. п. на подгруппу,- формула для характера И. п., критерий индуцированности представления, свойства мономиальных групп п теорема двойственности Фробениуса допускают более или менее непосредственное обобщение на случай унитарных И. п. И. п. локально компактной группы Gсвязаны с представлениями нек-рых обобщенных групповых алгебр этой группы. Если G- группа Ли, то понятие И. п. группы Gдопускает различные обобщения, в том числе понятие голоморфно И. п., пространство к-рого Еявляется пространством функций на G, аналитических по нек-рым переменным, и понятие представления в когомологиях векторных расслоений над однородными пространствами группы G(представления в нулевых когомологиях суть И. п.). Понятие И. п. и его обобщения играют плодотворную роль в теории представлений; в частности, в терминах унитарных И. п. описываются представления расширений групп; основная серия непрерывных унитарных представлений связной действительной полупростой группы Ли Gобразована И. п., а именно- индуцированными конечномерными унитарными представлениями борелевской подгруппы группы G;дискретная серия представлений линейной действительной полупростой группы Ли реализуется в когомологиях нек-рых векторных расслоений над однородными пространствами этой группы; неприводимые непрерывные унитарные представления разрешимых связных групп Ли типа I описаны в терминах голоморфно И. п. [7]. Операция И. п. допускает обобщение на случай неунитарных представлений локально компактных групп, а также топологич. групп, не являющихся локально компактными. Изучен [6] аналог И. п. для С*-алгебр.