Инерции закон

квадратичных форм - теорема, утверждающая, что при любом способе приведения квадратичной формы [img: http://localhost:8080/file/021010-130.jpg] с действительными коэффициентами к сумме квадратов [img: http://localhost:8080/file/021010-131.jpg] посредством линейной замены переменных [img: http://localhost:8080/file/021010-132.jpg] где Q- невырожденная матрица с действительными коэффициентами, число р(соответственно га) таких индексов i, что bi>0 (соответственно bi<0), остается неизменным. В этой классич. форме И. з. установлен Дж. Дж. Сильвестром (J. J. Sylvester). Это утверждение иногда называют также теоремой Сильвестра. В современной форме И. з.- это следующее утверждение о свойствах симметрических билинейных форм над упорядоченными полями. Пусть Е- конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем k, снабженное невырожденной симметрия, билинейной формой f. Тогда существует такое целое число [img: http://localhost:8080/file/021010-133.jpg] что для любого ортогонального относительно f базиса е 1,..., es в Есреди s элементов [img: http://localhost:8080/file/021010-134.jpg] имеется в точности рположительных и в точности п=s -ротрицательных. Пара (р, п)наз. сигнатурой билинейной формы f, а число п- ее индексом инерции. Две эквивалентные формы имеют одинаковую сигнатуру. Если k- евклидово поле, то равенство сигнатур является достаточным условием для эквивалентности билинейных форм. Если индекс инерции n=0, форма наз. положительно определенной, а при р=0 - отрицательно определенной. Эти случаи характеризуются тем, что f(x, х)>0 (соответственно f(x, x)<0)для любого ненулевого вектора [img: http://localhost:8080/file/021010-135.jpg] Из И. з. вытекает, что Еесть ортогональная относительно f прямая сумма подпространств [img: http://localhost:8080/file/021010-136.jpg] таких, что сушение f на Е + является положительно определенной, а сужение f на Е - - отрицательно определенной билинейной формой и [img: http://localhost:8080/file/021010-137.jpg] (так что размерности пространств Е + и Е - не зависят от способа разложения). Иногда сигнатурой формы f наз. разность [img: http://localhost:8080/file/021010-138.jpg] Если формы f и gопределяют один и тот же элемент кольца Витта W(k)поля k,то s(f)=s(g). Более того, [img: http://localhost:8080/file/021010-139.jpg] = s(f1)+s(f2), [img: http://localhost:8080/file/021010-140.jpg] =s(f1)s(f2) для любых невырожденных форм f1 и f2, и s(<1>)=1, так что отображение [img: http://localhost:8080/file/021010-141.jpg] определяет гомоморфизм кольца W(k)в кольцо целых чисел Z. Если k - евклидово поле, то этот гомоморфизм является изоморфизмом. И. з. обобщается на случай эрмитовой билинейной формы над максимальным упорядоченным полем k, над квадратичным расширением кили над телом кватернионов над k(см. [1], [4]).