Интегральная воронка

точки Р(t0, х0)для дифференциального уравнения dx/dt=f(t, x)- множество всех точек, лежащих на интегральных кривых, проходящих через точку Р[под уравнением можно понимать систему уравнений в векторной записи с x=(x1,..., х п)]. Если через точку Рпроходит только одна интегральная кривая, то И. в. состоит из одной этой кривой. В случае п=1, т. е. когда х- скаляр, И. в. состоит из точек (t, x), для к-рых [img: http://localhost:8080/file/021011-25.jpg] где х*(t)и х * (t)- верхнее и нижнее решения, т. е. наибольшее и наименьшее из решений, проходящих через точку Р. Если функция f(t, x)непрерывна (или удовлетворяет условиям теоремы существования Каратеодори), то И. в.- замкнутое множество. Если при этом все решения, проходящие через точку Р, существуют на отрезке [img: http://localhost:8080/file/021011-26.jpg] то отрезок воронки (часть И. в., определяемая неравенствами [img: http://localhost:8080/file/021011-27.jpg]) и сечение И. в. любой плоскостью [img: http://localhost:8080/file/021011-28.jpg] являются связными компактами. Любую точку на границе И. в. можно соединить с точкой Ркуском интегральной кривой, лежащим на границе И. в. Если последовательность точек Р k, k=1,2,..., сходится к точке Р, то отрезки воронок точек Р k сходятся к отрезку воронки точки Рв том смысле, что для любого e>0 они содержатся ири k>k1(e)в 8-окрестности отрезка воронки точки Р. Аналогичными свойствами обладают И. в. для дифференциальных включений [img: http://localhost:8080/file/021011-29.jpg] при определенных предположениях о множестве F(t, x).