Интегральное преобразование

- функциональное преобразование вида [img: http://localhost:8080/file/021013-25.jpg] где С- конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К(х, t)- ядро И. п. Наиболее часто рассматриваются И. п., для которых K(x,t)=K(xt)и С- действительная ось или ее часть (а, b). Если [img: http://localhost:8080/file/021013-26.jpg] то И. п. наз. конечным И. п. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t)по известной F(x), наз. формулами обращения И. п. Примеры И. п. Преобразование Бохнера: [img: http://localhost:8080/file/021013-27.jpg] где Jv (х)- функция Бесселя 1-го рода порядка v, р - расстояние в Rn. Формула обращения: f= T2f. Равенство Парсеваля: [img: http://localhost:8080/file/021013-28.jpg] Преобразование Вебера: [img: http://localhost:8080/file/021013-29.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021013-30.jpg] Yv(x).- функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Формула обращения: [img: http://localhost:8080/file/021013-31.jpg] При а->0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля: [img: http://localhost:8080/file/021013-32.jpg] При v==±1/2 это преобразование сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье. Формула обращения: если [img: http://localhost:8080/file/021013-33.jpg] f(t)имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t0>0 и [img: http://localhost:8080/file/021013-34.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021013-35.jpg] Равенство Парсеваля: если [img: http://localhost:8080/file/021013-36.jpg] F(x)п G(x)- преобразования Ганкеля функций f(t)и g{t), причем f, [img: http://localhost:8080/file/021013-37.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021013-38.jpg] Другие формы преобразования Ганнеля: [img: http://localhost:8080/file/021013-39.jpg] Преобразование Вейерштрасса: [img: http://localhost:8080/file/021013-40.jpg] является частным случаем свертки преобразования. Цепные преобразования. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021013-41.jpg] причем fn+1(x)=f1(x). Такая последовательность И. п. наз. цепочкой И. п. При n=2 цепные И. п. часто наз. преобразованиями Фурье. Кратные (многомерные) И. п.- преобразования вида (1), где t, [img: http://localhost:8080/file/021013-42.jpg] С- некоторая область n-мерного комплексного евклидова пространства. И. п. обобщенных функций могут быть построены следующими основными способами: 1) Строится пространство основных функций U, содержащее ядро К(х, t)рассматриваемого И. п. Т. Преобразование Tf для любой обобщенной функции [img: http://localhost:8080/file/021013-43.jpg] определяется как значение функционала f на основной функции К(х, t). формулой [img: http://localhost:8080/file/021013-44.jpg] 2) Строится пространство основных функций U, на к-ром определено классическое И. п. Т, отображающее Uна нек-рое пространство основных функций V. И. п. T'f обобщенной функции [img: http://localhost:8080/file/021013-45.jpg] вводится равенством [img: http://localhost:8080/file/021013-46.jpg] 3) Рассматриваемое И. п. выражается через другое И. п., к-рое определено для обобщенных функций. См. также ст. Ватсона преобразование, Гаусса преобразование, Гегенбауэра преобразование, Конторовича- Лебедева преобразование, Мейера преобразование, Мелера- Фока преобразование, Меллина преобразование. Свертки преобразование, Стилтьеса преобразование, Уиттекера преобразование, Фурье преобразование, Харди преобразование, Эйлера преобразование, Эрмита преобразование, Якоби преобразование.