Интегральное уравнение типа свертки

- интегральное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интегрального преобразования свертки (см. Интегральный оператор). Особенностью И. у. т. с. является то, что ядра таких уравнений зависят от разности аргументов. Простейший пример - уравнение [img: http://localhost:8080/file/021014-14.jpg] где k и f- заданные функции, а j - искомая функция. Пусть k: и [img: http://localhost:8080/file/021014-15.jpg] и решение ищется в том же классе. Для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/021014-16.jpg] где К - преобразование Фурье функции k. При выполнении условия (2) уравнение (1) в классе L1 имеет единственное решение, представимое формулой [img: http://localhost:8080/file/021014-17.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021014-18.jpg] однозначно определяется с помощью своего преобразования Фурье [img: http://localhost:8080/file/021014-19.jpg] Уравнения типа свертки на полупрямой (Винера- Хопфа уравнение) [img: http://localhost:8080/file/021014-20.jpg] возникает при исследовании различных вопросов как теоретического, так и прикладного характера (см. [1], [4]). Пусть правая часть f и искомая функция [img: http://localhost:8080/file/021014-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021014-22.jpg] а ядро [img: http://localhost:8080/file/021014-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021014-24.jpg] Функцию a(l)наз. символом уравнения (4). Индексом уравнения (4) называется число [img: http://localhost:8080/file/021014-25.jpg] Если х= 0,функции К +, К -, определенные из равенств: [img: http://localhost:8080/file/021014-26.jpg] являются преобразовалиями Фурье, соответственно, функций [img: http://localhost:8080/file/021014-27.jpg] таких, что k+(t) = k-(-t) = 0 при t<0. При указанных выше условиях уравнение (4) имеет единственное решение, которое представляется формулой [img: http://localhost:8080/file/021014-28.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021014-29.jpg] Если x<0, то все решения уравнения (4) даются формулой [img: http://localhost:8080/file/021014-30.jpg] где с k - произвольные постоянные, [img: http://localhost:8080/file/021014-31.jpg] а функции [img: http://localhost:8080/file/021014-32.jpg] однозначно определяются с помощью своих преобразований Фурье: [img: http://localhost:8080/file/021014-33.jpg] Однородное уравнение, соответствующее (4), имеет при х<0 ровно |х| линейно независимых решений j1,..., j|x|, являющихся абсолютно непрерывными функциями на любом конечном интервале, причем эти решения можно подобрать так, что jk+1(t) = j'k(t), jk(0) = 0 при k=1,..., |х| - 1 и [img: http://localhost:8080/file/021014-34.jpg] Если х>0, то уравнение разрешимо лишь при соблюдении условий: [img: http://localhost:8080/file/021014-35.jpg] где y1,..., yx- система линейно независимых решений транспонированного к (4) однородного уравнения [img: http://localhost:8080/file/021014-36.jpg] При соблюдении этих условий решение (единственное) дается формулой [img: http://localhost:8080/file/021014-37.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021014-38.jpg] а преобразование Фурье K-(0) (X)и [img: http://localhost:8080/file/021014-39.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/021014-40.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021014-41.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/021014-42.jpg] и равенствами (11). Для уравнения (4) справедливы теоремы Нётера (см. Сингулярное интегральное уравнение). Первые значительные результаты по теории уравнений (4) были получены в [11], где указан эффективный метод (так наз. метод Винера - Хопфа) решения однородного уравнения, соответствующего (4), в предположении, что ядро и искомое решение удовлетворяют условиям: при некоторых 0<a<а и [img: http://localhost:8080/file/021014-43.jpg] Основным моментом в методе Винера-Хопфа является идея факторизации функции h(X), голоморфной в полосе |Iml|<а, то есть идея о возможности ее представления в виде произведения h-(k)h+(k), где h-, h+- некоторые голоморфные функции соответственно в полуплоскостях Iml,<а и Iml>-a, удовлетворяющие нек-рым дополнительным требованиям. Эти результаты были развиты и дополнены (см. [4]). Разработан метод сведения уравнения (4) к граничной задаче линейного сопряжения. Этим путем уравнение (4) было решено в следующих предположениях: k ОL1, 2 ([img: http://localhost:8080/file/021014-44.jpg]), KОLipa([img: http://localhost:8080/file/021014-45.jpg]), 0<a<1; К(l)=О(|l|-b), b>0, при |l| стремистся к беск. и 1-K(l) [img: http://localhost:8080/file/021014-46.jpg] 0, [img: http://localhost:8080/file/021014-47.jpg] <l< [img: http://localhost:8080/file/021014-48.jpg] Кроме того, была выяснена роль числа ind[1- К(k)]в решении уравнения (4). В предшествующих работах аналогичную роль играло число нулей аналитич. функции 1-К(l)в некоторой полосе (см. [3]). Условие (5) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы в случае уравнения (4) были справедливы теоремы Нётера. Приведенные решения уравнения (4) упрощаются в ряде практически важных частных случаев. Установлена асимптотика решения для специальных правых частей (см. [4]). Уравнение (4) изучено и в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/021014-49.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/021014-50.jpg], [img: http://localhost:8080/file/021014-51.jpg]) и преобразование Фурье К(l). ядра (t)имеет разрывы 1-го рода (см. [5]) или же является почти периодической функцией (см. [2]). В этих случаях условие (5) оказывается недостаточным для того, чтобы были справедливы теоремы Нётера. Справедливость большинства перечисленных выше результатов установлена также для систем уравнений типа (4), но, в отличие от одного уравнения, системы И. у. т. с. в общем случае не решаются явно в квадратурах (см. [6]). К И. у. т. с. относятся также парные уравнения (или дуальные уравнения) [img: http://localhost:8080/file/021014-52.jpg] и транспонированное к ним так наз. И. у. т. с. с двумя ядрами: [img: http://localhost:8080/file/021014-53.jpg] Уравнения (15) решены явно в квадратурах в [3], а уравнение (16) - в [10]. И. у. т. с. на конечном промежутке [img: http://localhost:8080/file/021014-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021014-55.jpg] является Фредголъма уравнением (см. [7], [9]). И. у. т. с, символ к-рых обращается в нуль в конечном числе точек и порядки нулей - целые числа, поддаются явному решению в квадратурах (см. [8], [12]).