Интегральных соотношении метод

, метод полос,- метод решения систем дифференциальных уравнений с частными производными, основанный на прнближеннрм сведении уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Применим к уравнениям различных типов. Предложен А. А. Дороднициным [1] как развитие метода прямых, обобщенная форма И. с. м. с введением сглаживающих функций дана в [2], разработка и развитие метода - в [3]. Пусть имеется система дифференциальных уравнений с частными производными в дивергентном виде [img: http://localhost:8080/file/021015-6.jpg] где Pi, Qi, Fi- заданные функции от независимых х, у и искомых u1, u2,..., uk переменных. Пусть решение системы (1) ищется в криволинейном прямоугольнике с границами х=а, х=b, у=0, у=D(х), на к-рых ставится 2к условий, из них кусловий на границах x= а и х=b. Если заранее функция D (х)неизвестна, то требуется одно дополнительное условие. При наличии на границе особых точек вместо соответствующих граничных условий используются условия регулярности. В N-м приближении область интегрирования разбивается на Nнепересекающихся полос системой линий y=yn(x)=nD(x)/N, n=1,..., N. Для каждого Nвыбирается замкнутая система из Nлинейно независимых функций fn(y). При умножении каждого исходного уравнения (1) на функции fn(y)и интегрировании по упоперек всех полос получают kN интегральных соотношений вида [img: http://localhost:8080/file/021015-7.jpg] Подынтегральные функции Р, Q, F аппроксимируются при помощи интерполяционных формул через их значения Р п, Qn, Fn на границах полос; интегралы, входящие в интегральные соотношения, имеют вид [img: http://localhost:8080/file/021015-8.jpg] где С п- численные коэффициенты, зависящие от выбора интерполяционных формул и вида функций fn(y). В результате получается аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений по хотносительно K(N+1)значений искомых функций и п на всех границах полос. Эта система замыкается кграничными условиями при у = 0 и у=А (х). Функции fn(y)выбираются достаточно произвольно. Применение в качестве fn(y)5-функции fn(y) = b(y-у n), n=1, 2,..., N, приводит к методу прямых, в к-ром производные по узаменяются разностными выражениями, отвечающими выбранным интерполяционным формулам. При использовании ступенчатых функций [img: http://localhost:8080/file/021015-9.jpg] говорят о простом И. с. м., где исходные уравнения интегрируются поперек каждой полосы. При этом выраженные исходной системой (1) законы сохранения запишутся для полос в виде следующих интегральных соотношений [img: http://localhost:8080/file/021015-10.jpg] Сходимость и погрешность И. с. м. исследовались для систем квазилинейных уравнений гиперболич. типа [4]. Здесь были установлены результаты, показывающие преимущество И. с. м. над методом прямых. В более поздних работах проводилось аналогичное исследование для уравнений эллиптич. типа. К достоинствам И. с. м. относятся: возможность выбора интерполяционных формул и функций f(y)с учетом поведения решения, точное интегрирование по одной из переменных (вследствие дивергентной формы записи исходных уравнений), простота вычислительного алгоритма, небольшой объем машинной памяти при расчетах на ЭВМ. В И. с. м. аппроксимируется интеграл: это повышает точность аппроксимации за счет уменьшения коэффициента остаточного члена; интеграл представляет собой более гладкую функцию, чем подинтегральная функция, что позволяет уменьшить число узлов интерполяции. В случае разрыва первого рода подинтегральной функции интеграл непрерывен. И. с. м. наиболее эффективен, когда решение с хорошей точностью получается при малом числе полос. Проведением аппроксимаций по двум переменным И. с. м. обобщается на случай уравнений с тремя независимыми переменными. Аппроксимации по двум переменным можно проводить и в двумерном случае (при этом область интегрирования разбивается не на полосы, а на подобласти), тогда аппроксимирующая система будет системой нелинейных алгебраич. или трансцендентных уравнений. Элементы И. с. м. применяются в др. численных методах, напр, в крупных частиц методе. И. с. м. наиболее приложим в газовой динамике, где с его помощью был решен цикл практически важных задач. При этом выделяют три схемы И. с. м.: 1) область интегрирования разбивается линиями, проходящими между поверхностью тела и ударной волной (рис. а); [img: http://localhost:8080/file/021015-11.jpg] 2) область интегрирования разбивается линиями, проходящими между осью симметрии и граничной характеристикой (рис. б);3) производится разбиение на подобласти двумя семействами пересекающихся линий (рис. в). И. с. м. для расчета сверхзвукового обтекания носовой части затупленного тела с отошедшей ударной волной был разработан в [5], где впервые получено численное решение этой задачи в прямой постановке. Проведено решение этой задачи для самых общих случаев (тела разнообразной формы, пространственное обтекание, течения реального газа при наличии равновесных и неравновесных физико-химич. превращений и излучения, нестационарное движение, течение вязкого газа [6]). И. с. м. применялся для численного исследования потенциальных течений газа [7], для решения нек-рых смешанных задач: течение в дозвуковой и трансзвуковой части сопла [8]. Рассматривалось закритическое обтекание профиля под углом атаки с местной сверхзвуковой зоной [9]. И. с. м. рассчитывались сверхзвуковые конич. течения газа. Широкое применение И. с. м. нашел при расчетах движения вязкого газа в рамках теории пограничного слоя. Для ламинарного несжимаемого случая было получено решение вплоть до точки отрыва [2]. Далее рассчитывался ламинарный пограничный слой в газе с учетом вдува или отсоса, излучения, теплопроводности. И. с. м. получено решение нестационарной задачи о точечном одномерном взрыве в газе с учетом противодавления [10], а также в газе с бесконечной проводимостью в присутствии магнитного поля и в горючем газе.