Интеграл по траекториям

континуальный интеграл, функциональный интеграл,- интеграл, областью интегрирования к-рого служит то или иное функциональное пространство. Чаще всего И. по т. определяется как обычный интеграл Лебега от функционала, заданного на пространстве функций (возможно, обобщенных) по нек-рой мере (быть может, комплексной) в этом пространстве. В тех случаях, когда лебсговская конструкция интеграла оказывается неприменимой, рассматриваются и другие способы континуального интегрирования. Напр., вместо мер используются предмеры (или квазимеры), т. е. аддитивные функции множества, определенные на алгебре всех цилиндрич. подмножеств функционального пространства и такие, что их сужения на любую s-подалгебру цилиндрич. множеств с фиксированным носителем являются уже мерами. Иногда И. по т. определяется как предел при [img: http://localhost:8080/file/021011-18.jpg] n-кратных интегралов (вычисляемых по мере Лебега в Rn), возникающих при подходящей аппроксимации пространства функций (области интегрирования) п-мерным пространством, а интегрируемого функционала - функцией от ппеременных. Эти и другие определения И. по т. применимы каждое к своему специальному классу функционалов, причем в тех случаях, когда эти определения пригодны одновременно, они могут, вообще говоря, приводить к различным значениям интеграла. Наконец, И. по т., встречающиеся в литературе по физике, подчас вообще не имеют точного смысла, а рассматриваются как формальные выражения, с к-рыми оперируют как с обычными интегралами (замена переменных, мажорирование, дифференцирование по параметру, предельный переход и т. д.), часто, однако, получая при этом серьезные и эвристически ценные результаты. И. по т., появившиеся первоначально в теории случайных Процессов, позднее были использованы для представления группы [img: http://localhost:8080/file/021011-19.jpg] а также полугруппы операторов [img: http://localhost:8080/file/021011-20.jpg] где H - Штурма- Лиувилля оператор в пространстве Rn (оператор энергии для системы квантовых частиц). Подобные представления были получены затем для более широкого класса операторов Н(всякое такое представление обычно наз. формулой Фейнмана - Каца) и явились удобным средством для изучения свойств этих операторов (оценка границ спектра, асимптотика собственных значений, свойства рассеяния и т. д. [3]). Среди применений И. по т. в математич. физике (основанных главным образом на формуле Фейнмана - Каца) наиболее глубоким оказалось их использование в проблемах квантовой статистич. физики [4] и квантовой теории поля [5], [6]. С И. по т. связано отчасти и развитие общих вопросов теории меры и интегрирования в бесконечномерных пространствах [7], [8].