Интегро-дифференциальное уравнение

- уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаками дифференциальных и интегральных операций. И.-д. у. включают и интегральные и дифференциальные уравнения. Линейные И.-д. у. Пусть f(x) - заданная функция, [img: http://localhost:8080/file/021015-49.jpg] - дифференциальные выражения с достаточно гладкими коэффициентами pi(x)и qi(y)на [ а, b], a K(x, у)- известная функция, достаточно гладкая в квадрате [а, b] [img: http://localhost:8080/file/021015-50.jpg] [ а, b]. Уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/021015-51.jpg] наз. линейным И.-д. у.; здесь X- параметр. Если в И.-д. у. (1) функция [img: http://localhost:8080/file/021015-52.jpg] при у>х, то уравнение (1) наз. И.-д. у. с переменным пределом интегрирования: его можно записать в форме: [img: http://localhost:8080/file/021015-53.jpg] Для И.-д. у. (1) или (2) можно ставить задачу Коши (ищется решение, удовлетворяющее условиям U(i)a=ci, i=0, 1,..., l-1, где с i - заданные числа, l- порядок выражения Lx[U], а [img: http://localhost:8080/file/021015-54.jpg] и различные граничные задачи (напр., задачу о периодических решениях). В ряде случаев (см. [3] - [4]) задачи для (1) или (2) можно упростить или даже свести соответственно к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода или уравнениям Вольтерра. Вместе с тем для И.-д.,у. возможен ряд специфич. явлений, не характерных ни для дифференциальных, ни для интегральных уравнений. Простейшее нелинейное И.-д. у. имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021015-55.jpg] К исследованию этого уравнения применимы метод сжатых изображений, принцип Шаудера и другие методы нелинейного анализа. Для И.-д. у. изучаются вопросы устойчивости решений, разложения по собственным функциям, асимптотика по малому параметру и др. В приложениях встречаются также И.-д. у. с частными производными и с кратными интегралами. Таковы, напр., уравнение Больцмана, уравнение Колмогорова - Феллера.