Информант

- градиент логарифмической функции правдоподобия. Понятие И. возникает в так наз. параметрич. задачах математич. статистики. Имеется априорная информация, что наблюдаемое случайное явление описывается распределением вероятностей Pq(dw). из семейства [img: http://localhost:8080/file/021018-30.jpg] где t- числовой или векторный параметр, однако истинное значение 8 неизвестно. Проведенное наблюдение (серия независимых наблюдений) явления привело к исходу w(серии w(1),..., w(N))). По исходам наблюдения требуется оценить Э. Пусть семейство {Pt} задается семейством плотностей р(w; t)относительно меры m(dw) на пространстве W всех исходов явления. Когда Q дискретно, за p(w, t)можно принять сами вероятности Р t(w) исходов. При фиксированном со величина р(со; t)как функция параметра t=(t1,..., tm)наз. функцией правдоподобия, а ее натуральный логарифм - логарифмической функцией правдоподобия. Для гладких семейств удобно вводить И. как вектор [img: http://localhost:8080/file/021018-31.jpg] к-рый, в отличие от логарифмической функции правдоподобия, не зависит от выбора меры m. И. содержит всю существенную для задачи оценки 6 информацию, как получаемую из наблюдений, так и известную заранее. Кроме того, он аддитивен: при независимых наблюдениях, т. е. когда [img: http://localhost:8080/file/021018-32.jpg] И. суммируется: [img: http://localhost:8080/file/021018-33.jpg] В теории статистич. оценивания существенны свойства И. как случайной вектор-функции. В предположении, что логарифмич. функция правдоподобия регулярна, в частности дважды дифференцируема, ее производные интегрируемы и что дифференцирование по параметру перестановочно с интегрированием по исходам, справедливы тождества: [img: http://localhost:8080/file/021018-34.jpg] Ковариационная матрица [img: http://localhost:8080/file/021018-35.jpg] наз. информа ционной матрицей. Через эту матрицу выписывается неравенство информации, дающее границу точности статистич. оценок параметра 0. При оценке 0 методом максимума правдоподобия наблюденному исходу w (или серии w(1),..., w(N)) сопоставляется наиболее правдоподобное, т. е. максимизирующее функцию правдоподобия и логарифмич. функцию правдоподобия, значение t=q*(w). В точке экстремума И. должен обращаться в нуль. Однако возникающее уравнение правдоподобия [img: http://localhost:8080/file/021018-36.jpg] может иметь лишние корни сверх t=q*, к-рые отвечают локальным максимумам (или минимумам) логарифмич. функции правдоподобия и к-рые следует отбрасывать. Если в нек-рой окрестности значения t-0 [img: http://localhost:8080/file/021018-37.jpg] то из приведенных свойств И. следует асимптотич. оптимальность оценки [img: http://localhost:8080/file/021018-38.jpg] максимума правдоподобия при возрастании числа Nиспользуемых независимых наблюдений.