Информационная матрица

информация по Фишер у,- матрица ковариаций информанта. Для доминированного семейства распределений вероятностей Pt(dw)с плотностями р(w; t), достаточно гладко зависящими от векторного (в частности, числового) параметра [img: http://localhost:8080/file/021019-125.jpg] элементы И. м. при t= q определяются как [img: http://localhost:8080/file/021019-126.jpg] где j, k=1,..., т. При скалярном параметре tИ. м. описывается единственным числом - дисперсией информанта. И. м. I(q)определяет неотрицательную дифференциальную квадратичную форму [img: http://localhost:8080/file/021019-127.jpg] снабжающую семейство {Р t} римановой метрикой. Когда пространство Wисходов со конечно, [img: http://localhost:8080/file/021019-128.jpg] Дифференциальная квадратичная форма Фишера (2) является единственной (с точностью до постоянного множителя) дифференциальной квадратичной формой, инвариантной относительно категории статистических решающих правил. Ввиду этого она возникает в формулировке многих статистич. закономерностей. Любое измеримое отображение f пространства Wисходов порождает новое гладкое семейство распределений Qt=Ptf-1 с И. м. IQ(q). При этом И; м. монотонно не возрастает: [img: http://localhost:8080/file/021019-129.jpg] каковы бы ни были zl,..., zm. И. м. обладает также свойством аддитивности. Если I(i)(q) (9) - И. м. для семейства с плотностью Р i((wi; t), то для семейства [img: http://localhost:8080/file/021019-130.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/021019-131.jpg] В частности, IN(q)=NI(q). при Nнезависимых одинаково распределенных испытаниях. И. м. позволяет охарактеризовать статистич. точность решающих правил в задаче оценки параметра закона распределения. Для дисперсии любой несмещенной оценки t(w)=т(w(1),..., w(N)) скалярного параметра tсправедливо [img: http://localhost:8080/file/021019-132.jpg] Аналогичное матричное неравенство информации выполняется для оценок векторного параметра. Его скалярное следствие [img: http://localhost:8080/file/021019-133.jpg] показывает, что несмещенное оценивание нигде не может быть слишком точным. Для произвольных оценок последнее неверно. Однако остаются ограничения, напр., на среднюю точность [img: http://localhost:8080/file/021019-134.jpg] где усреднение [img: http://localhost:8080/file/021019-135.jpg] левой части (3) проведено по инвариантному объему Vлюбой компактной подобласти [img: http://localhost:8080/file/021019-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021019-137.jpg] остаточный член зависит от размеров Q'. Неравенства (4) асимптотически точны, и асимптотически оптимальной в этом смысле оказывается оценка максимума правдоподобия. В точках вырождения, det I(q)=0, совместная оценка параметров затруднена; если det I(q) = 0 в нек-рой области, то совместная оценка вообще невозможна. Таким образом, следуя Р. Фишеру [1], с известной осторожностью можно сказать, что И. м. описывает среднее количество информации о параметрах закона раейределения, содержащееся в случайной выборке.