Инъективный объект

- такой объект I абелевой категории С, что для каждого мономорфизма а: [img: http://localhost:8080/file/021020-79.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/021020-80.jpg] является сюръективным. Всякий инъективный подобъект I объекта А. выделяется прямым слагаемым. Произведение И. о. - всегда И. о. В случае, когда каждый объект в Сизоморфен подобъекту нек-рого И. о. категории С, говорят, что С- категория с достаточно многими инъективными объектами (такова, напр., категория Гротендика). В этих категориях объект инъективен тогда и только тогда, когда он выделяется прямым слагаемым из любого объекта, его содержащего. Для объектов таких категорий можно строить резольвенты, состоящие из И. В локально нётеровых категориях (см. Топологизированная категория)прямая сумма И. о. является И. о., а каждый И. о. изоморфен прямой сумме неразложимых И. о. и это представление однозначно [3]. Если С- категория модулей над нётеровым коммутативным кольцом Л, то неразложимые инъективные модули суть инъективные оболочки полей частных факторколец [img: http://localhost:8080/file/021020-81.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021020-82.jpg] - произвольный простой идеал в L[4]. Примеры: 1) Категория абелевых групп имеет достаточно много И. о. Таковыми объектами являются полные (делимые) группы. 2) Категория [img: http://localhost:8080/file/021020-83.jpg] правых R-модулей содержит достаточно много И. о. (см. Инъективный модуль). 3) Категория пучков модулей на окольцованном топологич. пространстве (X, О X)содержит достаточно много И. о. Примерами таких И. о. служат пучки F, все слои к-рых Fx являются инъективными О X, х- модулями. В случае, когда (X, О X)есть схема, для квазикогерентных О X, x -модулей верно и обратное утверждение: всякий И. о. есть пучок, все слои к-рого являются инъективными О X, x -модулями.