Иррегулярное простое число

- простое нечетное число р, для к-рого число классов идеалов кругового поля R(е 2pi/р). делится на р. Все остальные простые нечетные числа наз. регулярными. Признак Куммера позволяет для каждого данного простого числа решить вопрос о том, будет ли оно регулярным или нет: для того чтобы нечетное простое число рбыло регулярным, необходимо и достаточно, чтобы ни один из числителей первых [img: http://localhost:8080/file/021021-8.jpg] Бернулли чисел В 2, В 4,..., В р-3 не делился на р(см. [1]). В связи с этим результатом возник вопрос о распределении регулярных и иррегулярных чисел. Таблицы бернуллиевых чисел и признак Куммера показывают, что в пределах первой сотни только три простых числа: 37,59 и 67 - иррегулярны (числители В 32, В44. и B58 - кратны соответственно 37, 59 и 67). Э. Куммер предположил, что регулярных чисел в среднем в два раза больше, чем иррегулярных. Позднее К. Зигель [2] выдвинул предположение, состоявшее в том, что отношение числа И. п. ч. к числу регулярных простых чисел, содержащихся в промежутке (1, х), при [img: http://localhost:8080/file/021021-9.jpg] стремится к пределу [img: http://localhost:8080/file/021021-10.jpg] где е- основание натуральных логарифмов. К настоящему времени (1978) известно только, что число И. п. ч. бесконечно и что среди нечетных простых чисел, меньших 5500, имеется 439 регулярных и 285 И. п. ч. [3]. Для всякого регулярного руравнение Ферма [img: http://localhost:8080/file/021021-11.jpg] не имеет ненулевых решений в рациональных числах [1]. Пусть р - некоторое И. п. ч., 2a1;..., 2aS -индексы бернуллиевых чисел из В 2, В4,..., В р-3, числители к-рых делятся на р, а kи t- натуральные числа такие, что q=1+рk -простое, меньшее р(р-1) и [img: http://localhost:8080/file/021021-12.jpg] (mod д). И пусть [img: http://localhost:8080/file/021021-13.jpg] Если для каждого a=ai, i=i, 2,..., s, [img: http://localhost:8080/file/021021-14.jpg] то для иррегулярного простого рсправедлива теорема Ферма, т. е. уравнение Ферма неразрешимо в рациональных числах, отличных от 0. Этот признак наз. признаком Вандивера. С помощью этого признака установлена справедливость теоремы Ферма для всех показателей, меньших 5500 (см. [4]).