Искажения теоремы

при конформных отображениях плоских областей - теоремы, характеризующие искажение линейных элементов в данной точке области, а также искажение области и ее подмножеств, и искажение границы области при конформном отображении. К И. т. в первую очередь относятся оценки модуля производной функции в данной точке области. Так, И. т. в классе е функций [img: http://localhost:8080/file/021021-17.jpg] мероморфных и однолистных в области |z|>1, состоит в утверждении, что при любом z0, [img: http://localhost:8080/file/021021-18.jpg] имеют место точные неравенства [img: http://localhost:8080/file/021021-19.jpg] Равенство в левой части (1) имеет место только для функции [img: http://localhost:8080/file/021021-20.jpg] а в правой части - только для функции [img: http://localhost:8080/file/021021-21.jpg] где a0 и b0- произвольные фиксированные числа. Функция w=F1(z) отображает область |z|>1 на плоскость wс разрезом по отрезку, соединяющему точки [img: http://localhost:8080/file/021021-22.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021021-23.jpg] а функция w-F2(z) отображает область |z| >1 на плоскость wс разрезом по дуге окружности |w-b0|=|z0| со средней точкой b0-z0. Неравенства (1) легко получаются из неравенства Грунского [img: http://localhost:8080/file/021021-24.jpg] определяющего область значений функционала In F'(z0)на классе 2. С другой стороны, неравенства (1) являются прямым следствием теоремы Голузина: если [img: http://localhost:8080/file/021021-25.jpg] то для любых точек z1 и z2, |z1|=|z2|=r, [img: http://localhost:8080/file/021021-26.jpg] справедливо точное неравенство [img: http://localhost:8080/file/021021-27.jpg] причем знак равенства имеет место для функции F(z)=z+е ia/z, где а - действительная постоянная. Из неравенства (2) следует также теорема искажения хорд (см. [1]): если функция [img: http://localhost:8080/file/021021-28.jpg] то для любых точек z1 и z2 на окружности |z|=r>1 справедливо точное неравенство [img: http://localhost:8080/file/021021-29.jpg] при этом знак равенства имеет место только для функции [img: http://localhost:8080/file/021021-30.jpg] где С- постоянная, [img: http://localhost:8080/file/021021-31.jpg] Известны различные обобщения неравенства (2), определяющие области значений соответствующих функционалов и составляющие усиления И. т. в классе 2 и его подклассах (см., напр., [1]). В классе S функций [img: http://localhost:8080/file/021021-32.jpg] регулярных и однолистных в круге |z|<1, при 0<|z0| <1 справедливы следующие точные неравенства: [img: http://localhost:8080/file/021021-33.jpg] Оценки (4) и (5) следуют из оценок (3). Совокупность неравенств (3) - (5) наз. И. т. в классе S. Нижние границы в оценках (3) - (5) реализуются только функцией [img: http://localhost:8080/file/021021-34.jpg] верхние границы - только функцией [img: http://localhost:8080/file/021021-35.jpg] " где a=argz0. Функции w=fa(z), [img: http://localhost:8080/file/021021-36.jpg]. известные как функции Кёбе, отображают круг |z|<1 на плоскость wс разрезом по лучу arg w=a, [img: http://localhost:8080/file/021021-37.jpg] и являются экстремальными в ряде задач теории однолистных функций. Имеет место теорема Кёбе об 1/4:область, являющаяся образом круга |z|<l при отображении w=f(z), [img: http://localhost:8080/file/021021-38.jpg] всегда содержит круг [img: http://localhost:8080/file/021021-39.jpg] причем, точка [img: http://localhost:8080/file/021021-40.jpg] принадлежит границе этой области толкко для функции f(z)=fa(z). Оценки (3) - (5) являются простыми следствиями результатов об областях значений функционалов [img: http://localhost:8080/file/021021-41.jpg] на классе S(см. [2]). Пусть е 0- класс функций [img: http://localhost:8080/file/021021-42.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021021-43.jpg] Имеет место следующая связь между функциями классов Sи е 0: если [img: http://localhost:8080/file/021021-44.jpg] то F(z)= [img: http://localhost:8080/file/021021-45.jpg] и обратно, если [img: http://localhost:8080/file/021021-46.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021021-47.jpg] Поэтому область значений к.-л. функционала (или системы функционалов) на классе S определяет область значений соответствующего функционала (или системы функционалов) на классе е 0, и обратно. Напр., из области значений функционала [img: http://localhost:8080/file/021021-48.jpg] 0<|z0| <1, на классе Sлегко получается область значений функционала [img: http://localhost:8080/file/021021-49.jpg] на классе е 0. Для функций, регулярных и ограниченных в круге, примерами И. т. являются Шварца лемма (см. [1]) и ее обобщения, а также следующая теорема Лёвнера о граничном искажении: для функции j(z), регулярной в круге |z| <1, j(0) = 0 |j(z)|<1 в |z|<l и |j(z)| = 1 на дуге Аокружности |z| = i, длина образа дуги Ане меньше длины самой дуги А, и равенство длин этих дуг имеет место только для функции ф(г) = е iaz, где a - действительное число. В классе функций, однолистных в данной многосвязной области, минимум (соответственно максимум) модуля производной функции в данной точке области реализуется только отображениями этой области на область с радиальными (соответственно с концентрическими круговыми) разрезами. Для случая неограниченных отображений имеет место следующая теорема. Пусть D- конечносвязная область плоскости z, содержащая бесконечно удаленную точку, е(D)- класс функций F(z), однолистных в D и имеющих в окрестности [img: http://localhost:8080/file/021021-50.jpg] разложение [img: http://localhost:8080/file/021021-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021021-52.jpg] - точка области D. Пусть Fq(z), Fq(z0)=0, есть функция класса е(D), отображающая Dна плоскость с разрезами по дугам логарифмич. спиралей, образующих угол q с лучами, выходящими из начала (достаточно считать [img: http://localhost:8080/file/021021-53.jpg] при q=0 логарифмич. спираль вырождается в луч, выходящий из начала, а при [img: http://localhost:8080/file/021021-54.jpg] - в окружность с центром в начале), [img: http://localhost:8080/file/021021-55.jpg] где ветви корней выбраны так, что коэффициенты при z в разложениях Лорана функций р(z) и q(z)в окрестности [img: http://localhost:8080/file/021021-56.jpg] равны 1. Тогда область значений функционала ln F'(z0)на классе 2 (D)представляет собой круг, определяемый неравенством: [img: http://localhost:8080/file/021021-57.jpg] причем каждой точке границы этого круга соответствует только функция F(z)=Fq(z)+C с надлежащим q, С- постоянная. В частности, справедливы точные неравенства: [img: http://localhost:8080/file/021021-58.jpg]