Канторово многообразие

- га-мерный бикомпакт X,dim X=n, в к-ром любая перегородка В между непустыми множествами имеет размерность [img: http://localhost:8080/file/021203-13.jpg] Эквивалентное определение: re-мерное К. м. есть n-мерный бикомпакт X, обладающий тем свойством, что при всяком представлении его в виде суммы двух непустых и отличных от всего пространства Xзамкнутых множеств X1 и Х 2 пересечение [img: http://localhost:8080/file/021203-14.jpg] имеет размерность dim (X1 [img: http://localhost:8080/file/021203-15.jpg] Х 2) [img: http://localhost:8080/file/021203-16.jpg] n-1. Одномерные метризуемые К. м. суть одномерные континуумы, или канторовы кривые. Понятие К. м. было введено П. С. Урысоном (см. [1]). и-мерный замкнутый шар и, значит, га-мерное замкнутое многообразие являются К. м.; га-мерное евклидово пространство нельзя разбить множеством размерности [img: http://localhost:8080/file/021203-17.jpg] (при n = 3 - теорема Урысон а, при n>3-теорема Александрова), (n-1)-мерным К. м. является совместная граница двух областей га-мерного евклидова пространства, одна из к-рых ограничена (теорема Александрова). Основной факт теории К. м.: всякий га-мерный бикомпакт содержит re-мерное канторово подмногообразие (теорема Александрова). Всякое лежащее в га-мерном бикомпакте Xмаксимальное n-мерное К. м. наз. размерностной компонентой бикомпакта X. Всякое n-мерное канторово подмногообразие бикомпакта Xлежит в единственной размерностной компоненте X. Пересечение двух различных размерностных компонент п-мерного бикомпакта Xимеет размерность [img: http://localhost:8080/file/021203-18.jpg] В частности, размерностные компоненты одномерного бикомпакта суть его компоненты. Множество размерностных компонент конечномерного компакта конечно, счетно или имеет мощность континуума. Справедливо неравенство: [img: http://localhost:8080/file/021203-19.jpg] где А- произвольная размерностная компонента совершенно нормального бикомпакта X, а В- объединение всех остальных размерностных компонент (теорема Александрова). В наследственно нормальном бикомпакте с 1-й аксиомой счетности размерностная компонента может содержаться в сумме остальных размерностных компонент. Объединение KX всех размерностных компонент n-мерного бикомпакта Xназ. его внутренним размерностным ядром. Ввиду монотонности размерности в совершенно нормальном бикомпакте Xвсегда dim KX=dim X и [img: http://localhost:8080/file/021203-20.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/021203-21.jpg] не содержит никакого га-мерного бикомпакта. Но даже для компактов неизвестно (1978), может ли [img: http://localhost:8080/file/021203-22.jpg] Что касается наследственно нормальных бикомпактов, то в них внутреннее размерностное ядро и его дополнение могут иметь все допустимые размерности, а именно, в предположении континуум-гипотезы, для всякой тройки целых чисел га, п 1 и n2 с [img: http://localhost:8080/file/021203-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021203-24.jpg] существует такой наследственно нормальный га-мерный бикомпакт X, что dim KX=n1 и [img: http://localhost:8080/file/021203-25.jpg] Если dim Z = ind X, то [img: http://localhost:8080/file/021203-26.jpg] где NX (определенное по Урысону) - индуктивное размерностное ядро, т. е. множество всех точек [img: http://localhost:8080/file/021203-27.jpg] в к-рых indXX=n. Индуктивное размерностное ядро NX компакта Xвсегда имеет тип Fs. Неизвестно, так ли обстоит дело с внутренним размерностным ядром компакта. Что касается бикомпактов,-" то в них ни индуктивное, ни внутреннее размерностные ядра не обязаны иметь тип Fs. Для всякой точки [img: http://localhost:8080/file/021203-28.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021203-29.jpg] где X- компакт (теорема Менгера). Поэтому для произвольного компакта Xего внутреннее размерностное ядро К X всюду плотно в индуктивном размерностном ядре NX. На бикомпакты это утверждение уже не переносится. Нерешенным остается вопрос (1978), всякая ли точка содержится в индуктивном размерностном ядре вместе с нек-рым невырожденным континуумом. Конечномерный континуум X, внутреннее размерностное ядро К X к-рого всюду плотно в X, наз. обобщенным канторов ым многообразием. Совместная граница двух открытых подмножеств n-мерного евклидова пространства является (n-1)-мерным обобщенным К. м. В метризуемом га-мерном обобщенном К. м. Xможет быть всюду плотно множество тех точек х, в к-рых indxX<n. Ни произведения, ни непрерывные отображения не сохраняют свойство быть обобщенными К. м., равно как и свойство быть К. м. Бикомпакт Xназ. бесконечномерным канторовым многообразием, если его нельзя разбить никаким способом слабо бесконечномерным замкнутым подмножеством. Во всяком бесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное К. м.