Карта

криволинейная система координат, параметризация множества М,- взаимно однозначное отображение [img: http://localhost:8080/file/021204-45.jpg] множества Мна открытое подмножество Dарифметического векторного пространства Rn. Число пназ. размерностью карты, а компоненты х i (р)вектора [img: http://localhost:8080/file/021204-46.jpg] - координатами точки [img: http://localhost:8080/file/021204-47.jpg] относительно карты х. Примером К. служит декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, введенная П. Ферма (P. Fermat) и Р. Декартом (R. Descartes) и положенная ими в основу аналитич. еометрии. К. (криволинейные координаты) на поверхности в геометрич. исследованиях впервые использовал Л. Эйлер (L. Euler). Б. Риман (В. Riemann) положил понятие К. в основу нового инфинитезимального подхода к обоснованию геометрии (см. [1]). Согласно концепции Б. Римана, основным объектом исследования геометрии является многообразие - множество М, снабженное К. Современное понятие многообразия является естественным обобщением определения Б. Римана. Карта х: [img: http://localhost:8080/file/021204-48.jpg] нек-рого подмножества Uмножества М наз. локальной картой множества Мс областью определения U. Если множество Мснабжено структурой топологич. пространства, то при этом дополнительно требуется, чтобы область определения Uбыла открытым подмножеством в М, а отображение хбыло бы гомеоморфизмом. Аналогично определяется К. со значениями в Fn, где F- произвольное нормированное поле, и вообще К. со значениями в топологическом векторном пространстве. Две локальные К. (x,U),(у, V)с областями определения U, V множества Мназ. согласованными класса С 1, если: 1) их общая область определения [img: http://localhost:8080/file/021204-49.jpg] изображается на каждой из них открытым множеством (т. е. множества x(W)и y(W)открыты в Rn), 2) координаты точки из общей области определения Wотносительно одной из этих К. являются lраз непрерывно дифференцируемыми функциями от координат этой же точки относительно другой К., т. е. вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/021204-50.jpg] lраз непрерывно дифференцируема. Множество А={ (х a, Ua)}попарно согласованных между собой локальных К. (х a, Ua)множества М, покрывающих все М(UaUa= М)наз. атласом множества М. Задание атласа определяет на Мструктуру дифференцируемого многообразия, а локальные К., согласованные со всеми К. этого атласа, наз. допустимыми (или С'-гладкими). Инфинитезимальным аналогом понятия К. является понятие инфинитезимальной карты порядка k(или, иначе, к-с труи карты, или корепера порядка k). Говорят, что две согласованные между собой локальные карты (х, U)(у, V)множества Мкасаются друг друга до порядка кв точке [img: http://localhost:8080/file/021204-51.jpg] если х(р) = у (р)и все частные производные до порядка квключительно вектор-функции уох -1: [img: http://localhost:8080/file/021204-52.jpg]. обращаются в точке х(р)в нуль. Класс jkp(x). локальных К., касающихся в точке [img: http://localhost:8080/file/021204-53.jpg] допустимой локальной К. (х, U)многообразия М, наз. инфинитезимальной К. порядка кв точке р. Выбор К. многообразия M позволяет рассматривать различные полевые величины на Мкак числовые функции и применять к ним методы анализа. Вообще говоря, значение полевой величины в точке зависит от выбора К. (Величины, не зависящие от выбора К., наз. скалярными и описываются функциями на многообразии М.)Однако для широкого и наиболее важного класса величин (см. Геометрических объектов теория)их значение в точке зависит только от устройства К. в инфинитезимальной окрестности k-гo порядка этой точки. Такие величины (примерами к-рых являются тензорные поля) описываются функциями на множестве всех кореперов порядка kна М. Вместе с тем изучаются такие свойства величин, к-рые не зависят от выбора К. В связи с этим весьма эффективным оказывается инвариантный бескоординатный подход к задачам дифференциальной геометрии.