Картана матрица

-1) К. [img: http://localhost:8080/file/021204-57.jpg] где a1,..., ar - какая-либо система простых корней алгебры g относительно фиксированной Картана подалгебрыt, а.(,) - скалярное произведение на пространстве, дуальном к t, определенное Киллинга формой на д. (О К. м. произвольной системы корней см. Корневая система.)С точностью до преобразования, индуцированного перестановкой индексов 1,..., r, К. м. является инвариантом алгебры Д, т. е. не зависит от выбора t и системы простых корней. Этот инвариант полдрстью определяет д: две полупростые алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда их К. м. совпадают, с точностью до преобразования, индуцированного перестановкой индексов. Полупростая алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда ее К. м. неразложима, т. е. не представима в виде блочно-диагональной матрицы после нек-рой перестановки индексов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021204-58.jpg] - разложение алгебры g в прямую сумму простых идеалов и А j- К. м. простой алгебры Ли gj. Тогда блочно-диагональная матрица [img: http://localhost:8080/file/021204-59.jpg] является К. м. алгебры Ли g (явный вид К. м. простых алгебр Ли см. Ли полупростая алгебра). Элементы aij=2(ai, aj)/(aj, aj) К. [img: http://localhost:8080/file/021204-60.jpg] К. м. тесно связаны с заданием g образующими и соотношениями. А именно, в алгебре g существуют линейно независимые образующие е i, fi, hi,i=l,..., r (так наз. канонические образующие), связанные следующими соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/021204-61.jpg] Любые две системы канонических образующих переводятся друг в друга автоморфизмом алгебры д. Кроме (2), канонические образующие удовлетворяют также соотношениям [img: http://localhost:8080/file/021204-62.jpg] где, по определению, (ad х) у=[ х, у]. Соотношения (2) и (3) являются определяющими для алгебры g при выбранной системе образующих е i, fi, hi, i=1,..., r (см. [2]). Для любой матрицы А, удовлетворяющей условиям (1), алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/021204-63.jpg] (А)над полем кс образующими е i, fi, hi, i=1,..., rи определяющими соотношениями (2) и (3) конечномерна тогда и только тогда, когда Аесть К. м. конечномерной полупростой алгебры Ли [3].