Картана метод внешних форм

- дифференциально-алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2n -мерное векторное пространство над произвольным полем Кс базисными векторами е 0, е i, е ij, е ijk,..., е 12...n, i<j<k. Кроме векторов базиса для произвольного натурального числа q, определяются векторы е i1i2....iq,i1 i2,..., iq=1, 2,..., n, по следующему закону: если среди натуральных чисел i1, i2,..., iq есть хотя бы одна пара одинаковых, то е i1...iq=0; если все числа i1,..., iq попарно различны и числа j1<j2<...<jq являются перестановкой чисел i1, i2,..., iq, то [img: http://localhost:8080/file/021204-66.jpg] когда подстановка (ik)+(j)k -четная, и е i1....iq=- е j1....jq, когда эта подстановка нечетная. В векторном пространстве Vвводится внешнее умножение: [img: http://localhost:8080/file/021204-67.jpg] при этом требуется выполнение обычных для гиперкомплексной системы (алгебры) законов. Построенная алгебра ранга 2" наз. алгеброй Грассмана. Вектор [img: http://localhost:8080/file/021204-68.jpg] наз. мономом степени р, [img: http://localhost:8080/file/021204-69.jpg]. Сумма мономов одинаковой степени р>1 наз. внешней формой степени р;сумма мономов первой степени наз. линейной формой. Элементы поля Кявляются, по определению, формами нулевой степени. Векторы е i и любые пих линейно независимых комбинаций [img: http://localhost:8080/file/021204-70.jpg] образуют линейный базис алгебры Грассмана. Здесь и в дальнейшем по одинаковым индексам, встречающимся один раз снизу и один раз сверху, производится суммирование в соответствующих пределах. Алгебраической производной 1-го порядка от внешней формы [img: http://localhost:8080/file/021204-71.jpg] степени рпо символу е i наз. форма [img: http://localhost:8080/file/021204-72.jpg] степени р-1, к-рая получается из формы Wp заменой нулем всех мономов, не содержащих символа е i, и заменой единицей символа е i в остальных мономах после перенесения символа е i на первое место с соблюдением закона антикоммутативности при каждой последовательной перестановке. Ассоциированной системой линейных форм внешней формы Wp наз. совокупность всех ненулевых алгебраических производных (р-1)-го порядка от формы Wp. Рангом внешней формы Wp наз. ранг ее ассоциированной системы. Он совпадает с минимальным числом линейных форм, через к-рые, используя операцию внешнего умножения, можно выразить форму Wp. Для исследования системы дифференциальных уравнений в Rn используется дифференциальная алгебра Грассмана, когда в качестве Крассматриьается множество аналитич. функций от пдействительных переменных х i, определенных в нек-рой области пространства Rn, а векторы е i обозначаются символами dxi. Линейные формы в ней наз. 1-формами, или формами Пфаффа. В них символы dxi являются дифференциалами переменных х i. Внешние формы степени р>1 наз. р-формами, или внешними дифференциальными формами степени р. Внешним дифференциалом р-формы [img: http://localhost:8080/file/021204-73.jpg] наз. (р+1)-форма [img: http://localhost:8080/file/021204-74.jpg] Внешнее дифференцирование обладает следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/021204-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021204-76.jpg] - произвольные р-формы, a Wq - произвольная q-форма. Форма Пфаффа w= aidxi тогда и только тогда является полным дифференциалом нек-рой функции f, когда ее внешний дифференциал равен нулю. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021204-77.jpg] - произвольная система линейно независимых уравнений Пфаффа cm независимыми переменными х а и r неизвестными функциями zp. Система Dqa=0 наз. замыканием системы (1). Замыкание наз,. чистым замыканием (обозначается [img: http://localhost:8080/file/021204-78.jpg] если в нем алгебраически учтена исходная система (1), то есть если в квадратичные формы Dqa. подставлены значения dza из уравнений (1). Система qa=0, Dqa=0 или эквивалентная ей система qa = 0, [img: http://localhost:8080/file/021204-79.jpg] наз. замкнутой системой. Система (1) тогда и только тогда вполне интегрируема, когда [img: http://localhost:8080/file/021204-80.jpg] Приравнивая нулю алгебраические производные от [img: http://localhost:8080/file/021204-81.jpg] по dxa и dzx a=l,..., т,x=s+l,..., r, и присоединяя уравнения Пфаффа к исходной системе (1), получают вполне интегрируемую систему уравнений, к-рая наз. характеристической системой системы (1). Множество ее независимых первых интегралов образует наименьшую совокупность переменных, через к-рые можно выразить все уравнения системы (1). Пусть [img: http://localhost:8080/file/021204-82.jpg] - результат подстановки в алгебраич. производную [img: http://localhost:8080/file/021204-83.jpg] вместо dxa, dzx. произвольных переменных [img: http://localhost:8080/file/021204-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021204-85.jpg] h=i, 2,..., т-1. С системой (1) ассоциируется последовательность матриц Числа [img: http://localhost:8080/file/021204-86.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021204-87.jpg] наз. характерами, число Q=s1 +2s2 +... + msm наз. числом Картана системы (1). Присоединяя к замкнутой системе qa=О, [img: http://localhost:8080/file/021204-88.jpg] уравнения dzx= [img: http://localhost:8080/file/021204-89.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021204-90.jpg] - новые неизвестные функции, получают первое продолжение системы (1). Пусть N- число функционально независимых функций из [img: http://localhost:8080/file/021204-91.jpg] всегда [img: http://localhost:8080/file/021204-92.jpg] Если N=Q, то система (1) - в инволюции и ее общее решение зависит от sm произвольных функций т аргументов, sm-1 функций т-1 аргумента, и т. д., s1 функций одного аргумента и sпроизвольных постоянных. Если же N<Q, то систему (1) надо продолжать, причем в результате конечного числа продолжений получается либо система в инволюции, либо противоречивая система. Пусть, напр., имеется система dz1 = udx+x2 dy, dz2 = udy+у 2dx с независимыми переменными х, у и неизвестными функциями u, z1, z2 (s=2, m=2, r=3). Чистое замыкание ее имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021204-93.jpg] Для этой системы: [img: http://localhost:8080/file/021204-94.jpg] Система не находится в инволюции. Продолженная система dz1 = и dx+x2 dy, dz2 = u dy+у 2 dx, du = 2(y dx+x dy)вполне интегрируема и ее общее решение имеет вид: u = 2xy+c1,z1 = x(xу + с 1)+с 2, z2 = у(ху+ с 1) + с 3, где c1, c2, с 3- произвольные постоянные. Использование К. м. в. ф. значительно упрощает формулировки и доказательства многих теорем математики и теоретич. механики. Напр., теорема Остроградского записывается формулой [img: http://localhost:8080/file/021204-95.jpg] где М- аналитическое ориентируемое (m+1)-мерное многообразие, Г - его m-мерная гладкая граница, W - m-форма, а DW- ее внешний дифференциал. Формула замены переменных в кратном интеграле [img: http://localhost:8080/file/021204-96.jpg] при отображении р: [img: http://localhost:8080/file/021204-97.jpg] определенном формулами xi= ji (u1, u2,..., и п), где D, [img: http://localhost:8080/file/021204-98.jpg] получается непосредственной заменой переменных х i и их дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/021204-99.jpg] Так как [img: http://localhost:8080/file/021204-100.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021204-101.jpg] К. м. в. ф. широко применяется при исследовании многообразий с различными структурами. Пусть М- дифференцируемое многообразие класса [img: http://localhost:8080/file/021204-102.jpg] F= [img: http://localhost:8080/file/021204-103.jpg] - множество дифференцируемых функций на М, D1- множество всех векторных полей на М, Us- множество кососимметричных F-полилинейных отображений модуля D1 [img: http://localhost:8080/file/021204-104.jpg]... [img: http://localhost:8080/file/021204-105.jpg] D1(sраз, [img: http://localhost:8080/file/021204-106.jpg] - натуральное число). Пусть [img: http://localhost:8080/file/021204-107.jpg] = F, а через U обозначена прямая сумма F- модулей [img: http://localhost:8080/file/021204-108.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021204-109.jpg] Элементы модуля U наз. внешними дифференциальными формами на М; элементы модуля [img: http://localhost:8080/file/021204-110.jpg] наз. s-формами. Пусть тогда [img: http://localhost:8080/file/021204-111.jpg] 'внешнее умножение [img: http://localhost:8080/file/021204-112.jpg] определится формулами: [img: http://localhost:8080/file/021204-113.jpg] где Sr+s- группа подстановок множества 1, 2,..., r+s, а e(s)=1 или -1, в зависимости от того, четной или нечетной подстановкой является а. Модуль U кососимметрических F-полилинейных функций с внешним умножением наз. алгеброй Грассмана над многообразием М. Если Мсовпадает с Rn, то получается рассмотренная выше дифференциальная алгебра Грассмана. Внешним дифференцированием наз. R-линейное отображение D: [img: http://localhost:8080/file/021204-114.jpg] обладающее следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/021204-115.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/021204-116.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/021204-117.jpg] то Df есть 1-форма, определенная равенством Df(X)=X(f), где [img: http://localhost:8080/file/021204-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021204-119.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/021204-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021204-121.jpg] Пусть, напр., М- многообразие с заданной аффинной связностью. Аффинная связность на многообразии М- это правило С, к-рое сопоставляет каждому [img: http://localhost:8080/file/021204-122.jpg] линейное отображение Сx векторного пространства D1 в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям: [img: http://localhost:8080/file/021204-123.jpg] для f, [img: http://localhost:8080/file/021204-124.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/021204-125.jpg] наз. ковариантной производной относительно X. Пусть Ф - диффеоморфизм многообразия М, [img: http://localhost:8080/file/021204-126.jpg] - аффинная связность на М. Формула [img: http://localhost:8080/file/021204-127.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021204-128.jpg] определяет на Мновую аффинную связность. Аффинная связность [img: http://localhost:8080/file/021204-129.jpg] наз. инвариантной относительно Ф, если [img: http://localhost:8080/file/021204-130.jpg] В этом случае Ф наз. аффинным преобразованием многообразия М. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021204-131.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021204-132.jpg] и пусть D1- модуль, двойственный F-модулю D1. F -полилинейное отображение (со, X, Y) [img: http://localhost:8080/file/021204-133.jpg] w(T(Х, Y)), где [img: http://localhost:8080/file/021204-134.jpg] - форма Пфаффа, наз. тензорным полем кручения и обозначается через Т; F -полилинейное отображение (w, Z, X, Y) [img: http://localhost:8080/file/021204-135.jpg] w (R(X, Y) -Z)наз. тензорным полем кривизны и обозначается через R. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021204-136.jpg] и Х 1,..., Х п - базис для векторных полей в нек-рой окрестности Up точки р. Функции [img: http://localhost:8080/file/021204-137.jpg] определяются на Up формулами [img: http://localhost:8080/file/021204-138.jpg] Для 1-форм [img: http://localhost:8080/file/021204-139.jpg] определенных на U р формулами [img: http://localhost:8080/file/021204-140.jpg] справедливы структурные уравнения Картана: [img: http://localhost:8080/file/021204-141.jpg] Система уравнений Пфаффа [img: http://localhost:8080/file/021204-142.jpg] задает m-мерное подмногообразие [img: http://localhost:8080/file/021204-143.jpg] Продолжая эту систему с использованием структурных уравнений Картана, получают последовательность фундаментальных геометрич. объектов подмногообразия [img: http://localhost:8080/file/021204-144.jpg] первого, второго и т. д. порядков. В общем случае существует фундаментальный геометрич. объект [img: http://localhost:8080/file/021204-145.jpg] конечного порядка к, определяющий подмногообразие [img: http://localhost:8080/file/021204-146.jpg] с точностью до постоянных. При исследовании подмногообразий многообразия МК. м. в. ф. обычно используется совместно с методом подвижного репера (см., напр., [4]). Метод назван по имени Э. Картана (Е. Cartan), к-рый широко использовал внешние формы с 1899.