Картографии математические задачи

- задачи, возникающие при построении математич. основы географических и специальных карт, именно, при разработке теории картографических проекций, исследовании их свойств, преобразований, методов изысканий и др. Поверхность Земли при этом принимают либо за сферу, либо за эллипсоид вращения. Основным объектом изучения в математич. картографии является картографич. проекция: отображение на плоскости всей поверхности земного эллипсоида (шара) или какой-либо ее части: [img: http://localhost:8080/file/021205-124.jpg] где и- широта, v- долгота точки [img: http://localhost:8080/file/021205-125.jpg] (Д - односвязная область эллипсоида); х, у определяют на плоскости точку Q- изображение точки [img: http://localhost:8080/file/021205-126.jpg] D- область изображения Д. Функции f1 и f2 удовлетворяют следующим условиям: они однозначные, дважды непрерывно дифференцируемые, имеют якобиан h= д(х, у)/д(и, v) [img: http://localhost:8080/file/021205-127.jpg] 0 (для сохраняющих ориентацию отображений, используемых в геодезии и картографии, h>0). Большинство фактов математич. картографии относится не только к отображениям эллипсоида на плоскость, но и к отображениям произвольных поверх- ностей, поэтому далее под картография, проекцией (1) понимается отображение [img: http://localhost:8080/file/021205-128.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021205-129.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021205-130.jpg] - любые регулярные поверхности; D и D- односвязные области. Выбор для целей отображения таких координат, кроме простоты записи в них линейного элемента поверхности и выгоды их использования при последующих вычислениях, обусловлен еще и тем, что переход к ним от произвольных криволинейных координат на поверхности непосредственно доставляет конформное отображение поверхности на плоскость (см. [6], [3]). Эти координаты даже на произвольной поверхности наз. иногда картографическими координатами (см. [9]); в геодезии и картографии их наз. изометрическими координатами. Знание уравнений (1) отображения S1 на S2 позволяет изучить метрич. свойства отображения (см. [7], [2]), т. е. найти его характеристики: масштаб отображения m=ds/ds, причем m= m(u, v;a), и, в частности, масштабы по направлениям координатных линий m=m|v=const, n=m|u = const [img: http://localhost:8080/file/021205-131.jpg] поворот y изображения в направлении линии ии его поворот cв направлении линии v: [img: http://localhost:8080/file/021205-132.jpg] угол q между образами параметрич. линий: [img: http://localhost:8080/file/021205-133.jpg] искажение этого угла: [img: http://localhost:8080/file/021205-134.jpg] масштаб площади: [img: http://localhost:8080/file/021205-135.jpg] наибольшее искажение углов: [img: http://localhost:8080/file/021205-136.jpg] и др. Большое значение имеют главные масштабы a=mmax и b=emin, связанные с т, п,q теоремами Аполлония: [img: http://localhost:8080/file/021205-137.jpg] и соответствующие им главные направления, ортогональные как на S1 (tg 2a0=2f/(e-g), где [img: http://localhost:8080/file/021205-138.jpg] так и на S2 [img: http://localhost:8080/file/021205-139.jpg] С указанной сетью Тиссо на S2 связывается индикатриса отображения - эллипс искажений {а, b, А 0, y}, трактуемый в касательной плоскости к S2 в точке Qкак эллипс, подобный и подобно расположенный тому бесконечно малому эллипсу (главной части отображения), к-рый является - с точностью до о(r) - изображением окружности бесконечно малого радиуса р, взятой в касательной плоскости к S1 в точке Р. Из приведенных характеристик, выраженных через коэффициенты первых квадратичных форм взаимно отображаемых поверхностей (2) и частные производные 1-го порядка отображающих функций (1), независимы только четыре. Выбор групп независимых характеристик неоднозначен, и вместо {а, b, А 0,y)} часто берут {т, п,y, q}. По характеру искажений среди картографич. проекций выделяют следующие проекции: а) конформные, или равноугольные (т=п,9=p/2); б) эквивалентные, или равновеликие (р= 1); в) эквидистантные, или равнопромежуточные (а=1, или b=1); г) геодезические, в картографии наз. ортодромическими (ортодрома - геодезическая на сфере), при к-рых геодезические на S1 переходят в геодезические на S2;и др. Построение проекций, обладающих объединением хотя бы двух из перечисленных свойств а) - г), возможно только при отображении поверхности на изометричные ей поверхности и в нек-рых других тривиальных случаях. Так как условия конформности и эквивалентности для целей картографии не совместимы, то для нее особое значение имеют проекции эквидистантные, к-рые по характеру искажений занимают промежуточное место между отображениями а) и б). Выделение отдельных совокупностей картографич. проекций делают обычно указанием присущих им свойств, напр. вида а) - в), т. е. заданием их уравнениями в характеристиках, к-рые с учетом формул теории искажений легко преобразуются в уравнения с частными производными 1-го порядка. Множество решений конкретной системы двух таких уравнений описывает определенный класс проекций. По типу этих уравнений проекциям приписывают соответствующий тип (эллиптический, гиперболический и т. д.). Использование в картографии приведенных выше формул теории искажений позволяет выполнить выбор нужной для конкретной цели проекции: установив каким-либо образом уравнения проекции (1) (напр., задав на плоскости общий вид изображения координатных линий эллипсоида и, возможно, использовав при этом нек-рые дополнительные условия - конформности, эквивалентности и др.), можно на основании этих формул исследовать отображение и, варьируя его параметрами, подобрать наиболее подходящую проекцию для картографирования заданной [img: http://localhost:8080/file/021205-140.jpg] Кроме такого решения прямой задачи, в ней используются и иные методы (геометрические, графоаналитические и др.). В обратных задачах картографии проекции изыскивают на основе априорного задания искажений в них (см. [11]). При этом первоочередное значение имеет вопрос существования требуемых проекций. Ответ на этот вопрос дает основная система уравнений в теории отображения поверхностей (см. [4]): [img: http://localhost:8080/file/021205-141.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/021205-142.jpg] При отображении поверхности на плоскость: l2(х, у)=1, при отображении плоских областей друг на друга также и l1(u, v)=1. Система (3)- недоопределенная: двумя ее уравнениями связаны четыре независимые характеристики отображения; различные способы доопределения и интерпретации системы дают возможности разнообразным ее приложениям. Система (3) - квазилинейная относительно любой пары характеристик. Имеют место следующие теоремы. Теорема 1. Характеристики m, п,y, q отображения области [img: http://localhost:8080/file/021205-143.jpg] на область [img: http://localhost:8080/file/021205-144.jpg] осуществляемого однозначными дважды непрерывно дифференцируемыми функциями (1) с якобианом, сохраняющим знак в области Д, удовлетворяют во всех точках этой области системе (3). Теорема 2. Пусть выделена односвязная область D данной регулярной поверхности и пусть в области D заданы четыре функции ji=ji(u, v), непрерывные в D вместе со своими частными производными 1-го порядка и принимающие значения из любой односвязной области П, принадлежащей 4-мерному параллелепипеду [img: http://localhost:8080/file/021205-145.jpg] Если эти функции принять за характеристики нек-рого отображения [img: http://localhost:8080/file/021205-146.jpg] на плоскость [img: http://localhost:8080/file/021205-147.jpg] и если они удовлетворяют в D системе (3), то восстанавливаемое по ним отображение [img: http://localhost:8080/file/021205-148.jpg] на нек-рую область D" плоскости хОу гомеоморфно, дважды непрерывно дифференцируемо, имеет в D якобиан h>0 и переводит любую точку [img: http://localhost:8080/file/021205-149.jpg] в заданную точку (х 0, у 0)плоскости ху. Теорема 2 дает при заданном распределении характеристик условия существования отображений односвязной области D поверхности Sl на нек-рую область Dплоскости S2 при соответствии одной внутренней точки (u0, v0)своему изображению (х 0, у 0)на плоскости; граница области Dпри этом неизвестна. Незнание области изображения характерно для К. м. з.: она либо определяется после установления отображающих функций (1), либо должна быть найдена на основе дополнительных условий, напр, условий минимизации искажений в проекции. При отображениях сферы на плоскость система (3) переходит в так наз. систему Эйлера - Урмаева (см. [5], [11]), а при отображениях плоских областей, когда система (3) доопределена записанной в характеристиках системой уравнений отображения, она дает как следствие производную систему квазиконформных отображений (см. [12]). Сведение отображений поверхностей к квазиконформным отображениям плоских областей (с ограниченным искажением) вполне естественно, и первые, т. е. отображения (1) заданной области [img: http://localhost:8080/file/021205-150.jpg] на заданную область [img: http://localhost:8080/file/021205-151.jpg], могут интерпретироваться как "тройная" проекция: область [img: http://localhost:8080/file/021205-152.jpg] конформно отображается на область А плоскости uv, область [img: http://localhost:8080/file/021205-153.jpg] конформно отображается на область Dплоскости хОу, область А плоскости uOv квазиконформно преобразуется в область Dплоскости 'хОу. Квазиконформное отображение плоских областей [img: http://localhost:8080/file/021205-154.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021205-155.jpg] сопутствующее отображению [img: http://localhost:8080/file/021205-156.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021205-157.jpg] имеет следующие характеристики: V=m*,a=y, W=n*sin 0, угол q имеет тот же смысл, что и выше. Связь рассматриваемых изображений дала возможность (см. [4]) использовать в К. м. з. теорию квазиконформных отображении плоских областей. При этом систему уравнений любого класса картографич. проекций или, более общо, всякую нелинейную систему дифференциальных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/021205-158.jpg] после ее записи в характеристиках [img: http://localhost:8080/file/021205-159.jpg] удается редуцировать к квазилинейной системе, к-рая следует из системы (3) после ее доопределения системой (5) и к-рая трактуется как производная система исходной системы (4). При этом, однако, остается открытым вопрос о соотношении типов этих двух систем: исходной и производной. Аппарат квазиконформных отображений плоских областей (с двумя парами характеристик) может быть привлечен также в качестве теоретич. основы приборного (с использованием механич.. оптич., электронных и других устройств) преобразования картографич. проекций, точнее, преобразования двух заданных односвязных плоских областей друг в друга, каждая из к-рых является результатом картографирования одной и той же области земного эллипсоида, но в различных проекциях. Одной из основных задач картографии (в области создания мелкомасштабных и частично среднемасштабных карт) является проблема наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. таких отображений заданной области Л поверхности Sна плоскость, в к-рых искажения (в нек-ром заранее оговоренном смысле) сведены к минимуму (см. [2]). Наиболее распространенными критериями достоинств картографич. проекций являются следующие: критерий Эйри: [img: http://localhost:8080/file/021205-160.jpg] критерий Иордана: [img: http://localhost:8080/file/021205-161.jpg] критерий Эйри - Каврайского: [img: http://localhost:8080/file/021205-162.jpg] критерий Иордана - Каврайского: [img: http://localhost:8080/file/021205-163.jpg] причем все они суть вариационного типа, и критерий Чебышева - критерий минимаксного типа, согласно к-рому качества проекции оцениваются либо величиной [img: http://localhost:8080/file/021205-164.jpg] либо ее логарифмом, либо просто максимумом модуля логарифма масштаба в пределах отображаемой территории. В соответствии с тем, критерий какого вида используется при построении проекции, различают выгоднейшие проекции вариационного и минимаксного типов. Таким образом, проблемы построения наивыгоднейших проекций заключаются в том, что для заданной односвязной области D поверхности Sтребуется отыскать (при условии минимума одного из приведенных функционалов Ф или величины б) проекцию D на плоскость либо из всего их множества (1) - такие проекции наз. идеальными, либо из какой-либо их совокупности (напр., из класса проекций, описываемых решениями соответствующей ему системы (4)) - такие проекции наз. наилучшими проекциями данной их совокупности (класса). Для каждой такой задачи должна быть исследована корректность ее постановки. Для сферич. сегмента (области сферы, ограниченной окружностью малого круга) в соответствии с критерием Чебышева идеальной проекцией (см. [2], [13]) является равнопромежуточная проекция Постеля; наилучшей конформной - стереографическая (см. [8]); наилучшей эквивалентной - равновеликая проекция Ламберта (см. [2]). На основании вариационного критерия для сферич. сегмента Эйри (см. [14]) была вычислена наилучшая азимутальная проекция. Для сферич. трапеции - области сферы, ограниченной дугами двух меридианов и двух параллелей, и (в некотором смысле) близких к ней областей при картографировании используют конические проекции. Среди этих проекций, предназначенных для картографирования сферич. трапеций, известны наилучшие проекции минимаксного типа (проекции Маркова, см. [10]), а также наилучшие (того же типа) конформные и эквивалентные (см. [2]). Разработана общая методика построения наилучших по критерию Эйри конич. проекций (конформных, эквивалентных, равнопромежуточных) для односвязных областей произвольных очертаний (см. [15], [2]). Однако для сферич. трапеции при изображении ее на плоскости в конформной проекции наименьшее колебание логарифма масштаба имеет место в проекциях, рассчитанных (см. [9], [И]) в соответствии с теоремой Чебышева - Граве (см. [8], [9]): для того чтобы в конформной проекции (m=n, e=0) на плоскость одндсвязной области D поверхности S, имеющей полную кривизну одного и того же знака, логарифм масштаба наименее уклонялся от нуля, необходимо и достаточно постоянство масштаба на контуре изображаемой территории. Конформные проекции, удовлетворяющие условиям этой теоремы, наз. чебышевскими проекциями. Они обладают рядом полезных свойств (в них [img: http://localhost:8080/file/021205-165.jpg] Ф J-K = min, минимальна средняя кривизна изображений геодезич. линий поверхности S, maxD|ln p|=min), за счет к-рых они ценны для практики. П. Л. Чебышев решил задачу отыскания для [img: http://localhost:8080/file/021205-166.jpg] конформной проекции с минимумом искажения площадей, т. е. конформной проекции, наиболее близкой к эквивалентным. Важна и обратная задача: среди всех эквивалентных проекций области [img: http://localhost:8080/file/021205-167.jpg] на плоскость найти проекцию с минимумом искажений форм. Один из подходов к этой задаче таков. Ввиду разной мощности двух рассматриваемых множеств проекций (множество конформных описывается системой двух уравнений с частными производными m=n, e=0, а эквивалентных - одним р=тпcos e-1) сначала из совокупности эквивалентных проекций выделяется нек-рый класс проекций, близких к конформным, а затем уже в нем ищется проекция с минимумом искажений форм. Из классич. наследия был известен один класс таких проекций, именно, класс эйлеровых проекций: р=1,e=0 (см. [5]), ныне предложены и другие классы эквивалентных проекций, близких к конформным, напр, класс: p=i, (т-n)+ke=0, k=k(и, v) - параметр класса (см. [4]).. Исследование указанных и других новых классов картографич. проекций и поиски в них наивыгоднейших проекций минимаксного типа привели к постановке задач на условный минимакс (см. [16]). Сущность таких задач заключается в том, что для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными, решения к-рой должны быть найдены в заданной области А, требуется установить те дополнительные условия (краевые, начальные и т. д.) и в нек-рых случаях еще определить вид тех кривых, к к-рым должны быть отнесены эти условия, чтобы при интегрировании системы с ними одно из ее решений в области D наименее уклонялось бы от нуля. Известны только частные случаи исследования таких задач, основанные на методе априорных оценок решений дифференциальных уравнений. Достигнутые результаты для систем эллиптпч. типа - распространение теоремы Чебышева - Граве на два новых класса проекций: класс, описываемый системой уравнений в характеристиках п=кт,e=0, k = const>0 (см. [17]), и класс т=п с,e=0, с=const>0 (см. [19]). Для гиперболич. системы, описывающей эйлеровы проекции, методом характеристик установлены такие начальные условия на меридиане (см. [16]) и на параллели (см. [18]), при к-рых одно из решений системы (логарифм масштаба) в области влияния начальных данных наименее уклоняется от нуля. Картографический смысл этого аналога теоремы Чебышева таков: "носительница" данных Коши должна быть линией конформности, т. е. масштаб на ней равен единице. Этот результат при задании начальных условий на меридиане справедлив и для более широкого класса проекций: т=п с,e=0, c=const (см. [19]). Исследован случай эйлеровых проекций для заданной сферич. трапеции, в к-ром при рассмотрении - с привлечением интеграла энергии - смешанной задачи установлены начальные (для южной стороны трапеции) и краевые (на дугах, ограничивающих ее меридианов) условия, обеспечивающие получение для этой области наилучших эйлеровых проекций вариационного типа: на указанных трех сторонах области масштаб должен быть равен единице (см. [20]). Общая методика изыскания наивыгоднейших проекций вариационного типа для произвольной области [img: http://localhost:8080/file/021205-168.jpg] сводится к решению вариационных задач со свободными краями (см. [4]).