Каскадный метод

метод Лапла с. - метод теории дифференциальных уравнений с частными производными, позволяющий в нек-рых случаях находить общее решение линейного уравнения с частными производными гиперболич. типа [img: http://localhost:8080/file/021206-54.jpg] построив последовательность уравнений [img: http://localhost:8080/file/021206-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021206-56.jpg] через решения к-рых выражается решение уравнения (1). Уравнение (1) может быть записано в одном из следующих видов: [img: http://localhost:8080/file/021206-57.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021206-58.jpg] Функции hи кназ. инвариантами уравнения (1). При h=0 решение уравнения (1) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений и его решение имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021206-59.jpg] где Xи Y - произвольные функции, зависящие соответственно от хи у. Аналогично, если k=0, то решение уравнения (1) запишется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021206-60.jpg] В случае [img: http://localhost:8080/file/021206-61.jpg] решение иуравнения (1) может быть получено из решения u1 уравнения (21), коэффициенты a1, b1, с 1 и правая часть f1 к-рого имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/021206-62.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/021206-63.jpg] Для уравнения (21)инварианты h1 и k1 выражаются по формулам [img: http://localhost:8080/file/021206-64.jpg] Если h1=0, то решение и 1 уравнения (21) получается описанным выше способом; если h1=0, то процесс продолжается дальше построением уравнений (2i), при i=2, 3,..., через решения последовательности уравнений с помощью квадратур выражается решение уравнения (1). В случае [img: http://localhost:8080/file/021206-65.jpg] можно построить аналогичную цепочку уравнений (2i) при i= -1, -2,.... Если на каком-нибудь шаге hi (или ki) обратится в нуль, то общее решение уравнения (1) находится в квадратурах. К. м. может быть использован для перехода от данного уравнения к уравнению, для к-рого легче применить какой-либо другой из известных аналитических или численных методов решения; для получения семейств уравнений, решения к-рых известны и коэффициенты к-рых достаточно хорошо аппроксимируют коэффициенты уравнений, встречающихся в важных прикладных задачах; для получения основных операторов в теории возмущений операторов. К. м. указан П. Лапласом [1] в 1773 и развит Г. Дарбу [2].