Категоричная система аксиом

- всякая система аксиом 2, для к-рой все алгебраические системы сигнатуры 2, удовлетворяющие этим аксиомам, изоморфны. Из теоремы Мальцева - Тарского об элементарном расширении следует, что модели категоричной системы е аксиом 1-го порядка имеют конечную мощность. Верно и обратное: для любой конечной алгебраич. системы Асуществует категоричная система е аксиом 1-го порядка, модели к-рой изоморфны А. Пусть е 0 - множество универсальных замыканий формул [img: http://localhost:8080/file/021206-70.jpg] где j(х).- любая формула сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/021206-71.jpg] Система аксиом е 0 известна под названием арифметики Пеан о. Арифметика натуральных чисел N будет моделью для е 0. Однако существуют модели е 0, не изоморфные N. Пусть система е 1 получается из е 0 заменой схемы элементарной индукции 7) на аксиому полной индукции [img: http://localhost:8080/file/021206-72.jpg] записанную на языке 2-го порядка. Система е 1 является категоричной, и все модели е 1 изоморфны арифметике натуральных чисел N. Другой способ категоричного описания арифметики Nсостоит в добавлении к е 0 следующей бесконечной аксиомы (языка Lw1w): [img: http://localhost:8080/file/021206-73.jpg] где п- сокращение для суммы 1+...+1 из пединиц.