Квадратичное поле

- расширение степени 2 поля рациональных чисел Q. Любое К. п. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021209-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021209-48.jpg] т. е. получается присоединением к полю Q элемента [img: http://localhost:8080/file/021209-49.jpg] тогда и только тогда, когда d1=c2d2, где [img: http://localhost:8080/file/021209-50.jpg] Поэтому любое К. п. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021209-51.jpg] где d- целое рациональное число свободное от квадратов, однозначно определяемое этим К. п. В дальнейшем d предполагается именно таким. При d>0 поле [img: http://localhost:8080/file/021209-52.jpg] наз. вещественным К. п., а при d<0- мнимым. В качестве фундаментального базиса поля [img: http://localhost:8080/file/021209-53.jpg] т. е. базиса кольца целых чисел поля [img: http://localhost:8080/file/021209-54.jpg] над кольцом целых рациональных чисел Z, можно взять [img: http://localhost:8080/file/021209-55.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021209-56.jpg] Дискриминант D поля [img: http://localhost:8080/file/021209-57.jpg] равен соответственно d при d=1 (mod 4) и 4dпри d=2,3 (mod 4). Мнимые К. п.- единственный тип полей (кроме Q)с конечной группой единиц. Эта группа имеет порядок 4 для [img: http://localhost:8080/file/021209-58.jpg] (и образующую [img: http://localhost:8080/file/021209-59.jpg] порядок 6 для [img: http://localhost:8080/file/021209-60.jpg] (и образующую [img: http://localhost:8080/file/021209-61.jpg] порядок 2 (и образующую - 1) для всех остальных мнимых К. п. Для вещественных К. п. группа единиц изоморфна прямому произведению [img: http://localhost:8080/file/021209-62.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021209-63.jpg] - группа порядка 2, порожденная числом -1, и {e} - бесконечная циклическая группа, порожденная основной единицей е. Напр., для поля [img: http://localhost:8080/file/021209-64.jpg] Закон разложения простых дивизоров в К. п. допускает простую формулировку: полю [img: http://localhost:8080/file/021209-65.jpg] можно сопоставить квадратичный характер cна Z по модулю D. Если р - простое число и (D,p)=l, то дивизор (р) прост в [img: http://localhost:8080/file/021209-66.jpg] при c(р)=- 1, и распадается в произведение двух простых дивизоров при c(р)=1. Группа классов дивизоров К. п. изучена лучше, чем для других классов полей. В случае мнимых К. п. теорема Бруэра - Зигеля (утверждающая, что для полей алгебраических чисел фиксированной степени выполняется асимптотич. соотношение [img: http://localhost:8080/file/021209-67.jpg] где h, R и D- число классов, регулятор и дискриминант поля) показывает, что число классов дивизоров стремится к бесконечности при [img: http://localhost:8080/file/021209-68.jpg] Имеется ровно 9 одноклассных мнимых К. п. (при d=- 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163, см. [2]). Для, вещественных К. п. неизвестно (1978) конечно или бесконечно число одноклассных полей. Существует бесконечно много К. п. (как мнимых, так и вещественных), число классов к-рых делится на данное натуральное число (см. [3], [4]). Аналогичное свойство для 2-компоненты группы классов следует из теории родов Гаусса. Абелевы расширения мнимых К. п. в явном виде позволяет строить теория комплексного умножения (см. [5]). Многиэ арифметич. свойства К. п. допускают переформулировку в терминах теории бинарных квадратичных форм.