Квазирешение

- обобщенное решение некорректных задач, к-рое (при достаточно общих условиях), в отличие от истинного решения, удовлетворяет условиям корректности по Адамару. Пусть X, Y- метрические пространства, [img: http://localhost:8080/file/021213-16.jpg] М- множество из X. Квазирешением уравнения [img: http://localhost:8080/file/021213-17.jpg] на множестве Мпри заданном y из У наз. элемент хиз М, минимизирующий уклонение r(Ах, у)при хиз М. Если уравнение (1) имеет на Мистинное решение х 0, то х 0 будет также и К. Зависимость множества К. от уудобно представить как суперпозицию двух отображений [img: http://localhost:8080/file/021213-18.jpg] где А -1- обращение (вообще - многозначное) отображения А, а Р- оператор метрич. проектирования в пространстве Yна множество N=AM. Такая суперпозиция позволяет свести исследование свойств К. к исследованию отображений А -1 и Р. Напр., если множество N- чебышевское, а отображение А -1- однозначно и непрерывно на N, то задача нахождения К. является корректной. Если Рили А -1 многозначны, то устойчивость множества Кформулируется в терминах Р-непрерывности (непрерывности функций от множеств). Обычно в качестве Xи Y берутся линейные нормированные пространства, что позволяет получить наиболее полные и законченные результаты. Так, задача нахождения К. корректна, если У - строго выпукло, А- линейный непрерывный обратимый оператор, М- выпуклый компакт. Имеется ряд других комбинаций условий, обеспечивающих корректность задачи нахождения К., в к-рых одни условия усиливаются, другие ослабляются (напр., А- линейный замкнутый оператор, но У - гильбертово). Существует ряд способов задания множества М, обеспечивающих возможность эффективного нахождения К. Один из наиболее распространенных способов состоит в следующем. Рассматривается третье пространство Z(все или нек-рые из пространств X, Y, Z могут совпадать) и линейный оператор В: [img: http://localhost:8080/file/021213-19.jpg] такой, что В -1- неограничен. За множество М=М r принимается образ шара: [img: http://localhost:8080/file/021213-20.jpg] В такой форме задача нахождения К. является задачей математич. программирования: минимизировать функционал [img: http://localhost:8080/file/021213-21.jpg] при ограничении [img: http://localhost:8080/file/021213-22.jpg] Для гильбертовых Yи Zполучается задача квадратичного программирования. В случаях корректности К. важное значение для приложений имеют оценки устойчивости, в к-рых дается зависимость [img: http://localhost:8080/file/021213-23.jpg] При приведенном выше способе задания множества Мустойчивость К. характеризуется функцией: [img: http://localhost:8080/file/021213-24.jpg] Имеет место соотношение [img: http://localhost:8080/file/021213-25.jpg] где w(t, r) есть решение экстремальной задачи w(t, r)= sup ||Bz|| при [img: http://localhost:8080/file/021213-26.jpg] Для гильбертовых Zи Y имеются выражения для w(t, r) в замкнутой форме.