Квазисредних метод

- конструктивная схема исследования систем со спонтанным нарушением симметрии, основанная на фундаментальной концепции квазисредних (Н. Н. Боголюбов [1], 1961). Квазисредние - термодинамические (в статистической механике) или вакуумные (в квантовой теории поля) средние от динамических величин в специальным образом модифицированной процедуре усреднения, позволяющей учесть эффекты влияния вырождения состояния системы. В статистич. механике при спонтанном нарушении симметрии на основе К. м. могут быть описаны макроскопические наблюдаемые в рамках микроскопического подхода. В задачах с вырождением одному уровню энергии отвечает более одного независимых состояний системы; среднее же значение (А)любой динамической величины Аопределенно однозначно: [img: http://localhost:8080/file/021213-40.jpg] где H- гамильтониан системы, b - обратная температура. Если состояние статистического равновесия системы обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан системы (так наз. спонтанное нарушение симметрии см. [2] - [5]), то операцию усреднения (1) необходимо дополнить правилом, запрещающим "лишнее" усреднение по различным значениям рассматриваемой макроскопической величины, изменение к-рой не сопровождается изменением энергии. Это достигается введением квазисредних, т. е. средних по гамильтониану, дополненному бесконечно малыми членами, нарушающими аддитивные законы сохранения. Термодинамические средние могут оказаться неустойчивыми по отношению к такому изменению исходного гамильтониана, что и свидетельствует о вырождении состояния статистического равновесия. Итак, квазисреднее [img: http://localhost:8080/file/021213-41.jpg] динамической величины Адля системы с гамильтонианом Нопределяется как предел [img: http://localhost:8080/file/021213-42.jpg] где через [img: http://localhost:8080/file/021213-43.jpg] обозначено обычное среднее, взятое по гамильтониану Н v, содержащему малые нарушающие симметрию члены, вводимые параметром включения v, исчезающие при [img: http://localhost:8080/file/021213-44.jpg] Согласно определению (2) обычное термодинамическое среднее получается дополнительным усреднением квазисреднего по группе нарушенной симметрии. Значение квазисреднего (2) может зависеть от конкретной структуры добавочного члена D Н=Нv- Н, если усредняемая динамическая величина Анеинвариантна относительно группы симметрии исходного гамильтониана Н. При стремлении параметров включения источников v к нулю произвольным образом предел обычных средних (2) для вырожденного состояния не существует. Для полного определения квазисредних необходимо указать способ стремления этих параметров к нулю, обеспечивающий сходимость (см., напр., [5]). С другой стороны, для снятия вырождения достаточно нарушить при построении Hv лишь те аддитивные законы сохранения, "выключение" к-рых приводит к неустойчивости обычных средних. При этом для квазисредних не будут выполняться именно те правила отбора корреляционных функций, к-рые обусловлены указанными законами сохранения. К. м. непосредственно связан с принципом ослабления корреляции (см. [8], [9]): корреляционные функции [img: http://localhost:8080/file/021213-45.jpg] где Us(xs, ts)- полевые функции в Гейзенберга представленииY(xs, ts) илиY+(xs, ts), распадаются на произведение [img: http://localhost:8080/file/021213-46.jpg] если совокупность точек х 1,..., xs-1 бесконечно удаляется от совокупности точек xs,..., х п при фиксированных временных переменных t1, t2,..., tn. В случае вырождения рассматриваемого состояния выражения [img: http://localhost:8080/file/021213-47.jpg] входящие в эту формулировку, с необходимостью должны пониматься как квазисредние: приведенная выше формулировка принципа ослабления корреляций становится прямо неверной, если считать [img: http://localhost:8080/file/021213-48.jpg] обычными средними. Для построения неравновесного статистического оператора рассматриваются бесконечно малые возмущения, нарушающие симметрию (Лиувилля уравнения)относительно обращения времени. Применение этой операции эквивалентно отбору запаздывающих решений уравнения Лиувилля (см. [7]). Вопросы о выборе способа стремления параметров включения источников v к нулю, обеспечивающего сходимость обычных средних в определении квазисредних (2) рассмотрены в рамках метода аппроксимирующих гамильтонианов, где исходный гамильтониан заменяется на специальным образом конструируемый путем замены динамических величин, коммутирующих со всей алгеброй локальных наблюдаемых в пределе большой системы, на с-числа, так наз. аппроксимирующей гамильтониан, так что этот последний гамильтониан является много проще исходного (и в широком ряде физически важных случаев допускается точное решение) и является ему эквивалентным при [img: http://localhost:8080/file/021213-49.jpg] (см. [7]). При построении добавочного члена АН следует взять его пропорциональным решениям в общем случае минимаксной задачи для предельной [img: http://localhost:8080/file/021213-50.jpg] функции свободной энергии аппроксимирующего гамильтониана. Тогда произвольная последовательность вещественных положительных v, сходящаяся к нулю, обеспечивает сходимость в определении (2), при этом таким образом построенные квазисредние оказываются равными соответствующим решениям указанной минимаксной задачи. В рамках метода аппроксимирующих гамильтонианов указан другой альтернативный способ определения квазисредних без введения дополнительных членов в гамильтониан Н. В этом подходе при вычислении квазисреднего [img: http://localhost:8080/file/021213-51.jpg] рассматриваемая динамическая величина Адомножается на нек-рый, в определенном смысле стремящийся к единице при [img: http://localhost:8080/file/021213-52.jpg] множитель L, гамильтониан Ностается неизменным [4]: [img: http://localhost:8080/file/021213-53.jpg] Квазисредние, определенные согласно (2) и (5), совпадают. Математический аппарат К. м. включает Боголюбова теорему об особенностях типа 1/q2 и Боголюбова неравенства для Грина функций и корреляционных функций;содержит в себе алгоритмы установления нетривиальных оценок для равновесия квазисредних, позволяющих исследовать проблему упорядочения в статистич. системах и выяснять структуру энергетического спектра низколежащих возбужденных состояний (см. [4], [8]). Концепция квазисредних непосредственно связана с теорией фазовых переходов (см. [6], [7], [9]): неустойчивость термодинамических средних по отношению к возмущениям гамильтониана, нарушающим инвариантность относительно нек-рой группы преобразований, означает, что в системе происходит переход в экстремальное состояние. В квантовой теории поля для ряда модельных систем доказано наличие фазового перехода и установлена справедливость теоремы Боголюбова об особенностях типа 1/q2; исследована возможность локальной неустойчивости вакуума и появления у него доменной структуры.