Квантовая теория поля

- теория релятивистских квантовых систем. Возникновение К. т. п. связано с задачами о взаимодействии вещества с излучением и с попытками построения релятивистской квантовой механики [П. Дирак (P.A.M. Dirac, 1927), В. Гейзенберг (W. Heisenberg), В. Паули (W. Pauli) и др.]. При релятивистских (т. Центральную роль в теории играет понятие квантового поля. Удобно пояснить, как оно вводится, на примере электромагнитного поля, так как это единственное поле, имеющее ясное содержание и в классическом и в квантовом случаях. Классическое электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла. Эти уравнения можно переписать в виде канонических уравнений Гамильтона, так что потенциал поля играет роль координаты, а его производная по времени - импульса в соответствующем фазовом пространстве. Поле представляется как каноническая система с бесконечным числом степеней свободы, так как потенциал в каждой пространственной точке есть независимая координата. Эту систему можно квантовать так же, как обычную механич. систему. В квантовой картине основные понятия - это состояния, описываемые векторами гильбертова пространства, и наблюдаемые, описываемые самосопряженными операторами, действующими в этом пространстве. Квантование состоит в замене канонических координат и импульсов на операторы таким образом, чтобы скобке Пуассона сопоставлялся коммутатор соответствующих операторов. Квантовое поле становится оператором, действующим на векторы состояния и вызывающим переходы между состояниями с различным числом квантовых частиц - фотонов, т. е. описывающим рождение и уничтожение (излучение и поглощение) квантов, поля. Аналогично квантовое поле может быть поставлен" в соответствие любым другим фундаментальным частицам. Уравнения для оператора свободного поля получаются из основного требования теории относительности - условия инвариантности относительно Пуанкаре группы. Сорт частиц характеризуется массой покоя т, спином, т. е. собственным моментом s, принимающим целые и полуцелые значения, включая нуль, и различными зарядами (электрическим, барионным, лептонным и т. д.). Первые два числа [ т, s]определяют неприводимое представление группы Пуанкаре, по к-рому преобразуется поле, а тем самым и уравнения поля. Свободное классическое скалярное поле и(х)подчиняется уравнению [img: http://localhost:8080/file/021214-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021214-18.jpg] Это - вариационное уравнение Эйлера для функционала действия [img: http://localhost:8080/file/021214-19.jpg] с плотностью лагранжиана [img: http://localhost:8080/file/021214-20.jpg] Если рассматривать u(x), [img: http://localhost:8080/file/021214-21.jpg] как каноническую координату, то сопряженный импульс есть [img: http://localhost:8080/file/021214-22.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021214-23.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021214-24.jpg] (точка означает производную по времени). Квантование выполняется посредством сопоставления функциям и(x), р(x)операторных функций j(х), p(x), удовлетворяющих коммутационным соотношениям (квантовой скобке Пуассона) [img: http://localhost:8080/file/021214-25.jpg] {h- постоянная Планка, далее принимается h=1). Оператор Гамильтона имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021214-26.jpg] т. е. Н 0- та же функция квантовых операторов ер и я, что и классич. гамильтониан, с точностью до порядка {не коммутирующих) операторов. Символ:: нормального произведения уточняет этот порядок. Гамильтоновы уравнения движения [img: http://localhost:8080/file/021214-27.jpg] эквивалентны уравнению [img: http://localhost:8080/file/021214-28.jpg] Квантовое поле в 4-мерном пространстве-времени необходимо является обобщенной, а не обыкновенной операторнозначной функцией, поэтому j(x)следует понимать только как символическую запись. Математич. смысл этим символам придается в формализме пространства Фока, представляющего собой реализацию пространства состояний в К. т. п. Состояние одной частицы в заданный момент времени описывается комплексной функцией Y(р), квадратично интегрируемой по релятивистски инвариантной мере [img: http://localhost:8080/file/021214-29.jpg] где w(р)=(р2+т 2)1/2 -релятивистская энергия частицы с массой т. Такие функции образуют гильбертово пространство [img: http://localhost:8080/file/021214-30.jpg] Система из птождественных частиц описывается квадратично интегрируемой функцией Y п(р 1,..., р п), симметричной (для бозонов - частиц с целым спином) или антисимметричной (для фермионов - частиц с полуцелым спином) относительно перестановки любых двух координат. Эти функции (для бозонов) принадлежат гильбертову пространству [img: http://localhost:8080/file/021214-31.jpg] - симметризованному тензорному произведению пэкземпляров [img: http://localhost:8080/file/021214-32.jpg] Для описания систем с переменным числом частиц вводится прямая сумма пространств [img: http://localhost:8080/file/021214-33.jpg] - фоковское пространство [img: http://localhost:8080/file/021214-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021214-35.jpg] Вектор W0=(l, 0, 0,...) наз. вакуумом и интерпретируется как состояние системы без частиц. Векторы вида (0, 0,..., Y п, 0,...) наз. частичными векторами и отождествляются с Yn. Удобно рассматривать функции W(p)из [img: http://localhost:8080/file/021214-36.jpg] как функции 4-вектора р=(р 0,р), где р 0=w(р). Тогда представление группы Пуанкаре U(a, А)дается формулой [img: http://localhost:8080/file/021214-37.jpg] где (р, a)=pmam = p0a0- pa - лоренц-инвариантная билинейная форма. Представление, заданное в [img: http://localhost:8080/file/021214-38.jpg] естественным образом индуцирует представление во всем фоковском пространстве [img: http://localhost:8080/file/021214-39.jpg] Генератор сдвигов вдоль оси р 0 совпадает с гамильтонианом Н 0. Здесь описано простейшее представление группы Пуанкаре, соответствующее спину s=0. Различные операторы, в фоковском пространстве выражаются через операторы рождения и уничтожения. Пусть f(p)- одночастичная волновая функция (т. е. [img: http://localhost:8080/file/021214-40.jpg] Тогда оператор уничтожения a(f): [img: http://localhost:8080/file/021214-41.jpg] определяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/021214-42.jpg] а оператор рождения а*(f): [img: http://localhost:8080/file/021214-43.jpg] - как ему сопряженный. В частности, a*(f)W0=(0, f(p),0,...),Х т. е. оператор a*(j)рождает из вакуума частицу с волновой функцией f(p), а a(f)W0=0. Операторы рождения и уничтожения принято записывать в символическом виде [img: http://localhost:8080/file/021214-44.jpg] Фурье-преобразование суммы операторов рождения и уничтожения [img: http://localhost:8080/file/021214-45.jpg] является для действительных [img: http://localhost:8080/file/021214-46.jpg] симметрическим оператором и наз. свободным (скалярным) квантовым полем в нулевой момент времени. Квантовое поле в момент времени х 0 имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021214-47.jpg] и как операторная обобщенная функция j(х)удовлетворяет на своей области определения уравнению (2) и каноническим коммутационным соотношениям [img: http://localhost:8080/file/021214-48.jpg] Таким образом, в фоковском пространстве реализуется каноническое квантование, описанное выше. Теория свободного квантового поля может быть изложена математически строго и последовательно. Для взаимодействующих полей положение иное. Хотя в К. т. п. и получен целый ряд важных результатов по проблемам, допускающим корректную математическую постановку, но до сих пор не решена принципиальная задача обоснования теории взаимодействующих полей: не построено нетривиального примера, удовлетворяющего всем физич. требованиям. Конкретные физич. расчеты опираются на эвристическую схему К. т. п., в основе к-рой в большинстве случаев лежит теория возмущений. Уравнение для взаимодействующего поля содержит нелинейный член - j(Ф(х)): [img: http://localhost:8080/file/021214-49.jpg] Это уравнение, так же как (1), может быть получено как вариационное уравнение для [img: http://localhost:8080/file/021214-50.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/021214-51.jpg] Лагранжиан взаимодействия [img: http://localhost:8080/file/021214-52.jpg] выбирается в виде нелинейной инвариантной комбинации полей, участвующих во взаимодействии, и их производных. В простейшем случае скалярного поля, взаимодействующего с самим собой, [img: http://localhost:8080/file/021214-53.jpg] = -lФ 4(x). При l= 0 получается свободное поле. Взаимодействующее квантовое поле Ф(х)можно явно выразить через начальные данные Ф(x) и [img: http://localhost:8080/file/021214-54.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/021214-55.jpg] где, однако, в экспоненте стоит уже полный гамильтониан [img: http://localhost:8080/file/021214-56.jpg] Выбирая в качестве начальных данных значения свободного поля j(x) и p(x), можно выразить решение нелинейного уравнения (4) через операторы рождения и уничтожения а*(р)и а(р)свободных частиц. В этой схеме приходится вводить в рассмотрение невзаимодействующие частицы и рассматривать взаимодействие как дополнительный фактор, к-рый в последовательном изложении приходится "включать" и "выключать" с помощью специальной адиабатической процедуры (см. [5]). Между тем взаимодействие может весьма заметно менять спектр и другие характеристики рассматриваемых полей. В стандартных методах считается, что полю Ф отвечает именно та частица, к-рая проявляется в линеаризованном уравнении. Только для достаточно слабого взаимодействия типа lФ 4 можно доказать, что это так. Однако и в теории возмущений спектр, вообще говоря, меняется. Собственный вектор Q, отвечающий минимальному собственному значению дискретного спектра Н(точнее, следовало бы говорить об операторе массы) наз. перенормированным вакуумом и интерпретируется как состояние без частиц. Собственные значения, отвечающие остальным точкам дискретного спектра, называются перенормированными одночастичными состояниями (обычно считается, что имеется одно такое состояние). Оно отличается от состояния а*(f)W0 и имеет массу М, отличную от затравочной массы т. Прямое применение теории возмущений дает бессмысленные расходящиеся выражения (так наз. "ультрафиолетовые расходимости"). Если регуляризацию этих расходимостей проводить в соответствии с физическими принципами (главным условием оказалась релятивистская и калибровочная инвариантность всей процедуры), то весь произвол (в электродинамике) сводится к формально бесконечной перенормировке массы и заряда электрона, как было показано в 1948 Ю. Швингером (J. Schwinger), P. Фейнманом (R. Р. Feynman) и Ф. Дайсоном (F. J. Dyson). Окончательную формулировку и строгий математич. анализ К. т. п. в рамках теории возмущений дал II. Н. Боголюбов (1951 - 55). Он указал, что ультрафиолетовые расходимости в теории возмущений появляются вследствие перемножения обобщенных функций в точках, где их носители пересекаются, и сформулировал такой способ их перемножения, при к-ром выполняются физич. требования релятивистской инвариантности, причинности и др. В практич. расчетах теория возмущений применяется не непосредственно к уравнению (4), а к различным другим объектам, к-рые могут быть из него получены, напр, к S-матрице (см. Рассеяния матрица)или к функциям Грина. Вычисление S-матрицы является одной из главных задач в физике элементарных частиц. Ее матричные элементы просто [img: http://localhost:8080/file/021214-57.jpg] выражаются через функции Грина поля Ф(х): где Т(...)- символ хронологического упорядочения [img: http://localhost:8080/file/021214-58.jpg] Разлагая Gn в ряд по степеням [img: http://localhost:8080/file/021214-59.jpg] используя, напр., представление для Gn в виде функционального интеграла [img: http://localhost:8080/file/021214-60.jpg] можно выразить ее в каждом порядке теории возмущений через интегралы от произведений простейших функций Грина свободного поля [img: http://localhost:8080/file/021214-61.jpg] Для вычислений по теории возмущений разработана техника диаграмм Фейнмана. При этом возникают произведения функций Грина D(х)в совпадающих точках. Напр., функция G2(x1, х 2)для модели [img: http://localhost:8080/file/021214-62.jpg] =-lФ 4 во втором порядке по Xпропорциональна выражению [img: http://localhost:8080/file/021214-63.jpg] Этот интеграл расходится, однако его можно регуляризовать, т. е. сопоставить ему нек-рое осмысленное выражение. Прежде всего следует придать смысл произведению обобщенных функций D3(x). Это можно сделать следующим образом. Рассматривается сглаженная функция [img: http://localhost:8080/file/021214-64.jpg] где e>0, а [img: http://localhost:8080/file/021214-65.jpg] - такая функция, что Dx,e(x)- достаточно гладкая, напр., rx(x)=(1+x/х)-N, N>2 и [img: http://localhost:8080/file/021214-66.jpg] при (x, [img: http://localhost:8080/file/021214-67.jpg] - называется ультрафиолетовым обрезанием). Можно считать, что лагранжиан L в (5) заменен на [img: http://localhost:8080/file/021214-68.jpg] Найдутся такие константы ax и b х (расходящиеся при [img: http://localhost:8080/file/021214-69.jpg]), что в смысле обобщенных функций существует предел [img: http://localhost:8080/file/021214-70.jpg] Функция D3reg(x) и является регуляризацией D3(x). Она определяется с точностью до слагаемых [img: http://localhost:8080/file/021214-71.jpg] +bd(х), где а и b - произвольные константы. Таким же образом регуляризуется и все выражение (6), при этом нового произвола не появляется. Аналогично регуляризуются все функции Грина во всех порядках теории возмущений по X. Подобную процедуру можно провести для [img: http://localhost:8080/file/021214-72.jpg] равного любому полиному. Для [img: http://localhost:8080/file/021214-73.jpg] процедуру регуляризации можно провести самосогласованно во всех порядках теории возмущений по Xв следующем смысле. Существуют такие константы А x, В x, С x (представимые в виде рядов по Xстепени два и выше; для их вычисления разработаны простые правила), что при подстановке в (5) вместо лагранжиана L(x) - перенормированного лагранжиана [img: http://localhost:8080/file/021214-74.jpg] в каждом порядке разложения в ряд по l. при х стремящимся к бесконечности, получаются конечные выражения. [img: http://localhost:8080/file/021214-75.jpg] называется перенормированным лагранжианом, и говорят, что к исходному [img: http://localhost:8080/file/021214-76.jpg] добавлены расходящиеся контрчлены. Эти контрчлены имеют ту же структуру, что и исходный лагранжиан (т. е. являются линейной комбинацией выражений д muдm и, u2, u4). Вследствие этого неоднозначность в величинах [img: http://localhost:8080/file/021214-77.jpg] можно фиксировать, если считать заданными массу и заряд системы (масса определяется как значение р 2, при к-ром [img: http://localhost:8080/file/021214-78.jpg] имеет полюс, а заряд - как значение [img: http://localhost:8080/file/021214-79.jpg] в нек-рой определенной точке). Анализ этой неоднозначности приводит к важному понятию ренормализационной группы [5]. Если в данной модели возможно устранить ультрафиолетовые расходимости с помощью добавления контрчленов той же структуры, что и исходный лагранжиан, то такая модель называется перенормируемой; в противном случае - неперенормируемой. Все модели скалярного поля, взаимодействие в к-рых есть полином степени выше четвертой - неперенормируемы. Это относится только к теории возмущений. Последовательная формулировка описанного способа отделения "бесконечностей", возникающих при перемножении сингулярных обобщенных функций во всех порядках теории возмущений, составляет содержание так наз. теоремы об "R-операции" Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка (1956) [5], [19]. Тем самым была доказана теорема существования квантовой теории взаимодействующих полей во всех порядках теории возмущений. Последующие исследования показали, что ряд теории возмущений является в лучшем случае асимптотическим, и оценки на его основе применимы только при не слишком больших энергиях участвующих в процессе частиц. Устранение ультрафиолетовых расходимостей удается последовательно провести только в рамках тзории возмущений. Все вышесказанное относилось к реальному четырехмерному пространству-времени. В трехмерном пространстве-времени взаимодействие становится менее сингулярным и можно ограничиться добавлением контрчлена В х: u2, причем В к. имеет второй порядок по X. В двумерном пространстве-времени контрчлены не нужны. Здесь описана только простейшая модель скалярного поля с взаимодействием lФ 4. В К. т. п. имеют дело с более сложными многокомпонентными системами взаимодействующих ферми- и бозе-полей. Напр., киральные поля уже на классич. уровне принимают значения в нек-рых не обязательно линейных однородных пространствах (напр., на сфере); калибровочные поля являются связностями в нек-рых векторных расслоениях - к ним относятся электромагнитное поле, гравитационное поле и поле Янга - Миллса (см. [11], [15]). Метод возмущений не применим в тех случаях, когда константа взаимодействия - основной параметр разложения - заведомо больше единицы, как для сильных ядерных взаимодействий мезонов и нуклонов. Для сильных взаимодействий пользуются другими методами, в к-рых существенную роль играют рассмотрение S-матрицы в целом и изучение общих свойств ее матричных элементов, прямо описывающих интересные для опыта величины - амплитуды процессов рассеяния и рождения. При этом квантовые поля (или токи), к-рые могут быть выражены через S-матрицу, играют важную роль, поскольку на S-матрицу накладывается центральное условие причинности (Н. Н. Боголюбов, 1955) как ограничение на носитель определенных матричных элементов S-матрицы. Вместе с другими физич. требованиями, такими, как релятивистская инвариантность и характер энергетического спектра, условие причинности позволяет установить свойства голоморфности обобщенных функций - амплитуд рассеяния как функций нескольких комплексных переменных. Эти аналитич. свойства оказываются достаточными для вывода специального рода интегральных представлений для амплитуды рассеяния - "дисперсионных соотношений". Строгое доказательство дисперсионных соотношений [4] потребовало развития специальных математич. методов, лежащих на стыке теории обобщенных функций и теории функций многих комплексных переменных и, в частности, доказательства теоремы об острие клина Н. Н. Боголюбова и о С-выпуклой оболочке В. С. Владимирова [8]. Дисперсионные соотношения стали основой большей части конкретных методов расчета в теории сильных взаимодействий [А. А. Логунов, С. Мандельстам (S. Mandelstam) и др.]. Они примыкают к так наз. аксиоматической теории поля, в к-рой выясняются совместность аксиом и их следствия, касающиеся вопросов существования и свойств квантовых полей. Метод теории возмущений предполагает, что для уравнения (4), решением к-рого является квантовое поле Ф(х), выбираются простейшие начальные данные j, p, заданные в фоковском пространстве свободных частиц. Существует много унитарно неэквивалентных реализаций (представлений) коммутационных соотношений (3), и в этом состоит отличие К. т. п. как системы с бесконечным числом степеней свободы от квантовой механики, где имеется теорема Неймана о единственности этих представлений. Для физики интересны любые реализации начальных данных, для к-рых уравнение (4) имеет решения Ф(х), и гамильтониан II ограничен снизу. Гильбертово пространство, в к-ром реализовано такое представление, наз. сектором. Нек-рые модели могут иметь по нескольку фаз (фаза - сектор с единственным вакуумом), напр., lФ 4 -модель имеет при достаточно больших Xдве фазы - происходит фазовый переход. При построении фаз применяется квазисредних метод. Представление о фазовом переходе и связанном с ним явлении спонтанного нарушения симметрии сыграло важную роль в частности в единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий. В 1974 было показано, что в нек-рых двумерных моделях имеются так наз. солитонные сектора, в к-рых вакуум отсутствует, но к-рые имеют богатый спектр частиц, аналогичный спектру частиц соответствующей классич. модели (Л. Д. Фаддеев и др.). В К. т. п. имеется много задач, требующих для своего решения методов из различных областей математики, в настоящее время интенсивно исследуемых. Условно их можно разбить на следующие группы. 1) Анализ аксиом и их следствий для квантовых полей и S-матрицы. Помимо средств функционального анализа - теории самосопряженных операторов, обобщенных функций, представлений групп,- здесь используются методы теории функций многих комплексных переменных, С*-алгебры и алгебры Неймана, в последнее время - методы теории вероятностей. Основные величины - функции Грина или функции Уайтмана wn(x1,..., х п)- являются граничными значениями функций, голоморфных в некоторых областях [img: http://localhost:8080/file/021214-80.jpg] Нерешенная задача здесь - построение оболочек голоморфности [img: http://localhost:8080/file/021214-81.jpg] Область Dn содержит евклидовы точки вида [img: http://localhost:8080/file/021214-82.jpg] Для ряда моделей в двух- и трехмерном пространстве-времени доказано, что значения функций Уайтмана в этих точках являются моментами вероятностной меры. Заслуживает внимания дальнейший анализ такого евклидова подхода к К. т. п. с точки зрения теории вероятностей. Имеется общий алгебраич. подход к теории поля, при к-ром в основу теории кладутся алгебры наблюдаемых - т. е. С*-алгебры или алгебры Неймана, наделенные нек-рыми естественными с физич. точки зрения структурными свойствами. Здесь одна из основных задач состоит в анализе связи между алгебрами полей и алгебрами наблюдаемых, а также задача об описании динамики в рамках этого подхода. 2) Конструктивная К. т. п. имеет важнейшей задачей доказательство существования моделей К. т. п. в 4-мерном пространстве-времени. В двух- и трехмерном случае существование ряда моделей доказано на основе евклидова (вероятностного) подхода с применением методов, развитых по аналогии со статистической механикой; здесь требуется дальнейший математич. анализ таких вопросов, как спектр гамильтониана, фазовые переходы, свойства S-матрицы и др. 3) В формальной К. т. п., существование к-рой известно в каждом порядке теории возмущений, также имеется ряд проблем, допускающих математич. формулировку. Сюда относятся, напр., анализ рядов теории возмущений (в частности, аналитич. свойства диаграмм Фейнмана), изучение классич. уравнений теории поля и квазиклассических поправок к ним - здесь возникают нелинейные уравнения эллиптического и гиперболического типов, для анализа к-рых применяются, в частности, метод обратной задачи рассеяния, методы дифференциальной и алгебраической геометрии и топологии, и др.