Келдыша теорема

- 1) К. т. о приближении непрерывных функций многочленами: пусть функция f(z) комплексного переменного z голоморфна в области Gи непрерывна в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/021215-35.jpg] тогда, для того чтобы при любом e>0 существовал многочлен P(z)такой, что [img: http://localhost:8080/file/021215-36.jpg] необходимо и достаточно, чтобы дополнение [img: http://localhost:8080/file/021215-37.jpg] состояло из одной единственной области G*, содержащей бесконечно удаленную точку. Установлена М. В. Келдышем [1]. Эта теорема является одним из основных результатов теории равномерных приближений функций многочленами в комплексной области (см. [2]). 2) К. т. в теории потенциала - теоремы о разрешимости и устойчивости Дирихле задачи, установленные М. В. Келдышем в 1938-41. а) Пусть D- ограниченная область евклидова пространства Rn, [img: http://localhost:8080/file/021215-38.jpg]. с границей Y=дD. Тогда на Г существует счетное множество иррегулярных граничных точек {yk}, k=1, 2,..., такое, что для разрешимости задачи Дирихле в области Dс непрерывной граничной функцией f(y)на Г необходимо и достаточно, чтобы эта задача была разрешима в точках у k, k=1,2,..., т. е. чтобы [img: http://localhost:8080/file/021215-39.jpg] где и(х)- обобщенное в смысле Винера - Перрона решение задачи Дирихле (см. Перрона метод, а также [3], [4]). б) Пусть оператор Адействует из пространства С(Г) непрерывных функций на Г в пространство ограниченных гармонических в Dфункций и удовлетворяет следующим условиям: (а) А(af+bg) = aA (f)+bA(g), [img: http://localhost:8080/file/021215-40.jpg] где a, b - действительные числа, т. е. оператор Алинейный; (б) если [img: http://localhost:8080/file/021215-41.jpg] то А(f)(х) [img: http://localhost:8080/file/021215-42.jpg] 0; (в) если для функции [img: http://localhost:8080/file/021215-43.jpg] задача Дирихле разрешима, то А(f) дает решение этой задачи. При этих условиях оператор Аединственный и А(f) для всех [img: http://localhost:8080/file/021215-44.jpg] дает обобщенное в смысле Винера - Перрона решение задачи Дирихле (см. [5]-[7]). в) Для того чтобы всякая разрешимая в Dзадача Дирихле была устойчивой в [img: http://localhost:8080/file/021215-45.jpg] необходимо и достаточно, чтобы множество иррегулярных граничных точек множества [img: http://localhost:8080/file/021215-46.jpg] совпадало с множеством иррегулярных граничных точек множества CD. Задача Дирихле с любой функцией [img: http://localhost:8080/file/021215-47.jpg] устойчива внутри Dтогда и только тогда, когда множество иррегулярных граничных точек [img: http://localhost:8080/file/021215-48.jpg] принадлежащих Г, имеет в Dгармонич. меру нуль (см. [4]).