Кельвина преобразование

- преобразование функций, определенных в областях евклидова пространства Rn, [img: http://localhost:8080/file/021215-69.jpg] при к-ром гармонические функции переходят в гармонические. Получено У. Томсоном (лордом Кельвином, [1]). Если и(х)- гармонич. функция в области [img: http://localhost:8080/file/021215-70.jpg] то ее К. п. есть функция [img: http://localhost:8080/file/021215-71.jpg] гармоническая в области D*, получающейся из Dинверсией относительно сферы SR={x: |x| = R}, т. е. отображением пространства Rn, определяемым формулами [img: http://localhost:8080/file/021215-72.jpg] где х=(х 1,..., х п), [img: http://localhost:8080/file/021215-73.jpg] При инверсии бесконечно удаленная точка беск. компактифицированного по Александрову пространства Rn переходит в начало координат О, и наоборот. При К. п. гармонич. функции и(х). в областях D, содержащих оо, регулярные в [img: http://localhost:8080/file/021215-74.jpg] т. е. такие, что [img: http://localhost:8080/file/021215-75.jpg] переходят в гармонич. функции v(у). в ограниченных областях D*, содержащих начало координат О, причем v(0) = 0. Благодаря этому свойству, К. п. позволяет сводить внешние краевые задачи теории потенциала к внутренним, и наоборот (см. [2], [3]). Кроме К. п., гармоничность функций в Rn, [img: http://localhost:8080/file/021215-76.jpg] сохраняется при аналитич. реобразованиях вида v(y) -j(y) и(y(у))только в случае, когда j(y)=1 и y есть отображение подобия, движение или симметрия относительно плоскости; при n=2 этим свойством обладает широкий класс конформных отображений y.