Кервера инвариант

- инвариант почти параллелизуемого гладкого многообразия Мразмерности 4k-2, определяемый как arf-инвариант квадратичной формы по модулю 2, возникающий на решетке (2k+1)-мерных гомологии многообразия М. Пусть М- односвязное почти параллелизуемое замкнутое гладкое многообразие размерности 4k+2, гомологич. группы Н i (М; Z)к-рого при 0<i<4k+2, кроме V=H2k+1(M; Z), равны нулю. На свободной абелевой группе Vимеется кососимметрическая форма пересечения циклов Ф(х, у), Ф: [img: http://localhost:8080/file/021215-92.jpg] и размерность целочисленной решетки Vравна 2т. На группе V существует функция Ф 0: [img: http://localhost:8080/file/021215-93.jpg] определяемая следующим образом: если [img: http://localhost:8080/file/021215-94.jpg] то существует гладкое вложение сферы S2k+l в М, реализующее данный элемент х, [img: http://localhost:8080/file/021215-95.jpg]. Трубчатая окрестность этой сферы S2k+1 в Мпараллелизуема, она может быть либо тривиальной, либо изоморфной трубчатой окрестности диагонали в произведении S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-96.jpg] S2k+1. При этом трубчатая окрестность диагонали в S2k + 1 [img: http://localhost:8080/file/021215-97.jpg] X S2k+1 тогда и только тогда нетривиальна, когда 2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-98.jpg] 1, 3, 7 (см. Хопфа инвариант). Значение функции Ф 0 равно нулю или единице в зависимости от тривиальности или нетривиальности трубчатой окрестности сферы S2k+1, реализующей элемент хв М,2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-99.jpg] 1, 3, 7. Так определенная функция Ф 0: [img: http://localhost:8080/file/021215-100.jpg] удовлетворяет свойству [img: http://localhost:8080/file/021215-101.jpg] arf-инвариант для функции Ф 0 и наз. инвариантом Кервера многообразия M4k+2, [img: http://localhost:8080/file/021215-102.jpg] Если К, и. многообразия M4k + 2 равен нулю, то существует симплектич. базис (ei, fi) для Vтакой, что Ф 0(ei)=Ф 0(fi)=0. В этом случае многообразие M4k+2 есть связная сумма произведения сфер [img: http://localhost:8080/file/021215-103.jpg] Если же К. и. многообразия M4k+2 не равен нулю, то существует симплектич. базис (ei, fi) для Vтакой, что Ф 0(ei) = Ф 0(fi) = 0 для [img: http://localhost:8080/file/021215-104.jpg] и Ф 0(e1) = Ф 0(f1)=1. В этом случае объединение трубчатых окрестностей двух (2k+1)-мерных сфер, вложенных в M4k+2 с трансверсальным пересечением в одной точке и реализующих элементы e1, f1, дает нек-рое многообразие K4k+2, наз. многообразием Кервера (см. Древовидное многообразие);его край дK4k + 2 диффеоморфен стандартной сфере, а само многообразие M4k+2 представляет собой связную сумму [img: http://localhost:8080/file/021215-105.jpg] где гладкое замкнутое многообразие [img: http://localhost:8080/file/021215-106.jpg] получено из K4k+2 добавлением клетки. Если M4k+2, [img: http://localhost:8080/file/021215-107.jpg].1, 3, есть гладкое параллелизуемое (2k)-связное многообразие с краем, к-рый является гомотопич. сферой, то точно так же определен К. и. многообразия M4k+2 с теми же свойствами, что и выше, с той разницей, что в разложении M4k+2 в связную сумму простейших многообразий слагаемое [img: http://localhost:8080/file/021215-108.jpg] являющееся многообразием Кервера, будет иметь край dK4k+2=dM4k+2 (вообще говоря, не диффеоморфный стандартной сфере). В случае k = 0, 1, 3 исходные многообразия М 2, M6, М 14 представляют собой связную сумму (S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-109.jpg] XS2k+1) [img: http://localhost:8080/file/021215-110.jpg] (S2k+1XS2k+1) (если край пуст), или (S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-111.jpg] S2k+1)o [img: http://localhost:8080/file/021215-112.jpg] {S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-113.jpg] S2k+1)1 [img: http://localhost:8080/file/021215-114.jpg] (S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-115.jpg] XS2k+1)m-1, (если край непуст), где (S2k+1XS2k+1)0 получено выкидыванием открытой клетки из многообразия S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-116.jpg] S2k+1. Однако К. и. для замкнутых многообразий М 2, M6, М и может быть все же определен (см. Понтрягина инвариант, Кервера- Милнора инвариант)и зависит в этих размерностях от выбора оснащения, т. е. является инвариантом оснащенных перестроек пары (M4k+2, fr),k = 0,1, 3. В размерностях [img: http://localhost:8080/file/021215-117.jpg] многообразие Mik + 2 тогда и только тогда перестраивается до сферы S4k+2, когда пара (M4k+2, fr). оснащенно перестраивается до пары (S4k+2, fr) при любом выборе оснащения fr на исходном многообразии M4k+2 (см. Перестройка на многообразии). К. и. определен для любого стабильно параллелизуемого многообразия M4k+2 как инвариант оснащенных перестроек и любой элемент в стабильных гомотопич. группах сфер может быть представлен либо гомотопич. сферой с оснащением, либо замкнутым гладким многообразием Кервера с оснащением (в этом случае m=4k+2, [img: http://localhost:8080/file/021215-118.jpg] 1, 3), либо многообразием S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-119.jpg] S2k+1 с оснащением, если k = 0,1, 3. Иначе говоря, К. и. можно рассматривать как препятствие к тому, чтобы заданное оснащение на многообразии "перенести" на сферу той же размерности, [img: http://localhost:8080/file/021215-120.jpg] В этом смысле К. и. для значений k=0, 1, 3 выполняет ту же роль: заданное оснащение на многообразии s2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-121.jpg] S2k+1, k=0, 1, 3, вообще говоря, не всегда может быть "перенесено" на сферу S4k+2, k=0, 1, 3, с помощью оснащенных перестроек. Впервые такое оснащение на многообразии S2k+1 [img: http://localhost:8080/file/021215-122.jpg] S2k+1 было построено Л. С. Понтрягиным для случая к = 0, т. е. оснащение на двумерном торе ((S1 [img: http://localhost:8080/file/021215-123.jpg] S1),/ г), которое нельзя "перенести" на S2. Существуют такие же примеры оснащения на многообразиях S3 [img: http://localhost:8080/file/021215-124.jpg] S3 и S7 [img: http://localhost:8080/file/021215-125.jpg] S7. Основная задача, касающаяся К. и., заключается в следующем: для каких нечетных значений псуществует пара (M2n, fr)с отличным от нуля К. и.? Ответ на этот вопрос отрицателен для п [img: http://localhost:8080/file/021215-126.jpg] 2i-1 и положителен для п = 2i-1, где i=l (Л. С. Понтрягин, см. [2]), i=2, 3 (М. Кервер - Дж. Милнор, [5], [6]), i=4 (У. Браудер, [3]), i=5,6 [М. Баррат (М. Barratt), Maховальд (М. Mahowald), А. Мильграм (A. Milgram)]. Для остальных значений iответ неизвестен (1978).