Киллинга вектор

точнее-киллинга векторное поле, или инфинитезимальное движение,- поле скоростей (локальной) однопараметрич. группы движений риманова пространства М. Точнее, векторное поле Xна Мназ. векторным полем Киллинга (к. в. п.), если оно удовлетворяет следующему уравнению Киллинга [img: http://localhost:8080/file/021216-18.jpg] где LX- производная Ли по направлению X,a g- тензорное поле на М, определяющее структуру риманова пространства (риманова метрика). К. в. п. впервые были систематически изучены В. Киллингом [1], к-рый вывел также для них уравнение (*). В полном римановом пространстве любое к. в. п. полно, т. е. является полем скоростей однопараметрич. группы движений. Множество i(М)всех к. в. п. на Мобразует алгебру Ли размерности не более n(n+1)/2, где n=dim М, причем эта размерность равна n(n+1)/2 только для пространств постоянной кривизны. Множество всех полных к. в. п. образует подалгебру в i(M), являющуюся алгеброй Ли группы движений пространства М. Производная Ли по направлению к. в. п. аннулирует не только метрику g, но и все другие поля, к-рые канонически строятся по метрике, напр, тензор кривизны Римана, оператор Риччи и т. д. Это позволяет установить связь между свойствами к. в. п. и тензором кривизны. Так, напр., в точке, где собственные значения оператора Рнччи попарно различны, к. в. п. не может обращаться в нуль. К. в. п. X, рассматриваемое как функция [img: http://localhost:8080/file/021216-19.jpg] на кокасательном многообразии Т*М, является первым интегралом (гамильтонова) геодезич. потока на Т* М, определяемого римановой метрикой. По аналогии, поле Sконтравариантных симметрия, тензоров на Мназ. тензорным полем Киллинга, если соответствующая ему (полиномиальная по слоям) функция [img: http://localhost:8080/file/021216-20.jpg] на Т*М является первым интегралом геодезич. потока. Уравнение, задающее тензорное поле Киллинга, также наз. уравнением Киллинга. Множество всех тензорных полей Киллинга, рассматриваемых как функции на Т*М, образует (вообще говоря, бесконечномерную) алгебру Ли относительно скобки Пуассона, задаваемой стандартной симплектич. структурой на Т*М. Более общо, пусть [img: http://localhost:8080/file/021216-21.jpg] - геометрич. объект порядка k на многообразии М, т. е. GLk(n)-эквивариантное отображение многообразия реперов порядка кна Мв пространство W, на к-ром действует группа GLk(n) k -струй в нуле диффеоморфизмов Rn, сохраняющих начало координат. Векторное поле Xна Мназ. инфинитезимальным автоморфизме м, или полем Киллинга объекта Q, если соответствующая ему (локальная) однопараметрич. группа преобразований jt многообразия Миндуцирует группу [img: http://localhost:8080/file/021216-22.jpg] преобразований многообразия реперов RepkM, сохраняющую [img: http://localhost:8080/file/021216-23.jpg] Уравнение, задающее поля Киллинга объекта Q, наз. уравнением Ли - Киллинга, а соответствующий ему оператор - оператором Ли.