Классифицирующее пространство

- база В 0 универсального расслоения x= (E0, р 0, В о). Универсальность расслоения x понимается в следующем смысле. Пусть kG (Х) - множество классов эквивалентности (относительно изоморфизма, накрывающего тождественное отображение X)локально тривиальных расслоений над клеточным разбиением Xсо структурной группой G. Если 2;= (E, р, В)- локально тривиальное расслоение со структурной группой G, В'- топологич. пространство, f, g: [img: http://localhost:8080/file/021217-46.jpg] - гомотопные отображения, то индуцированные расслоения f*(x) и g*(x). над В' принадлежат одному и тому же классу kG(В'). Локально тривиальное расслоение xG=(EG. p, BG)наз. универсальным, если отображение [img: http://localhost:8080/file/021217-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021217-48.jpg] взаимно однозначно. Пространство BG в этом случае наз. также классифицирующим пространством группы G. Главное расслоение со структурной группой G универсально (в классе локально тривиальных расслоений над клеточными разбиениями), если пространство расслоения имеет нулевые гомотопич. группы. Важнейшие примеры К. п. ВО п, BSOn, BUn, BSUn для групп О n, SOn, Un, SUn соответственно конструируются следующим образом. Пусть G(n, k)- Грассмана многообразие, оно является базой главного О п- расслоения с Штифеля многообразием V(n, к)в качестве пространства расслоения. Естественные вложения [img: http://localhost:8080/file/021217-49.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021217-50.jpg] позволяют строить объединения G(n)= [img: http://localhost:8080/file/021217-51.jpg] и V(n)= [img: http://localhost:8080/file/021217-52.jpg] Расслоение (V(n), p0, G(n))универсально, a G(n) = BOn есть К. п. для группы On(piV(n, k)=0 при i<k-1 и piV (п) = 0 для всех i). Многообразие Грассмана [img: http://localhost:8080/file/021217-53.jpg] (пространство с фиксированной ориентацией) приводит аналогично к К. п. [img: http://localhost:8080/file/021217-54.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021217-55.jpg] =BSOn для группы SOn. К. п. групп BUn и BSUn строятся так же, с той разницей, что здесь рассматриваются комплексные многообразия Грассмана. Для любого О n- расслоения (Е, р, В)(В- клеточное разбиение) существует отображение f: [img: http://localhost:8080/file/021217-56.jpg] при к-ром индуцированное расслоение над Визоморфно (Е, р, В). В случае, когда В- гладкое га-мерное многообразие, а главное О n -расслоение (Е, р, В)ассоциировано с касательным векторным расслоением к В, построение отображения f особенно просто: многообразие Ввкладывается в евклидово пространство Rn+k при достаточно большом ки полагается f(x), [img: http://localhost:8080/file/021217-57.jpg] совпадающим с n-мерным подпространством в Rn+k, к-рое получается сдвигом касательного пространства к В в точке х. Многообразия Грассмана дают удобный способ конструкции К. п. для векторных расслоений. Имеются также конструкции, позволяющие функториально строить К. п. для любой топологич. группы. Наиболее употребительная из них - конструкция Милнора wG (см. Главное расслоение), причем расслоение wG универсально в более широкой категории всех нумерируемых G-расслоений над произвольным топологич. пространством. Важную роль играют К. п. для сферических расслоений BGn над клеточным разбиением В;для построения пространств BGn (и BSGn для ориентированных сферич. расслоений) конструкция Милнора не пригодна, так как множество гомотопич. эквивалентностей [img: http://localhost:8080/file/021217-58.jpg] не группа, а H-пространстпо. Явная конструкция этих пространств изложена в [2]. Существуют также К. п. ВРl п и ВТор п для кусочно линейных и топологич. микрорасслоений. Имеется естественное отображение [img: http://localhost:8080/file/021217-59.jpg] соответствующее прибавлению к векторному расслоению одномерного тривиального расслоения. Отображение это можно считать вложением, так что имеет смысл объединение [img: http://localhost:8080/file/021217-60.jpg] в топологии индуктивного предела. Совершенно аналогично строятся пространства ВSO, BU, BSU, BG, BSG, BPl, ВТор и т. д. Это - К. п. для классов стационарной эквивалентности расслоений, заданных над связными конечными клеточными разбиениями. Все эти пространства имеют структуру H-пространств, связанную с операцией суммы Уитни расслоений. Термин "К. п." употребляется не всегда в связи с расслоениями. Иногда К. п. наз. представляющее пространство (объект) для произвольного представимого функтора Т: [img: http://localhost:8080/file/021217-61.jpg] гомотопич. категории в категорию множеств. Примером такого К. п. является пространство ВГ q, классифицирующее в нек-ром смысле слоения коразмерности qна многообразии, или, более общо, q-структуры Хефлигера на произвольном топологич. пространстве.