Классические ортогональные многочлены

- общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами: 1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности (а, b)удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона [img: http://localhost:8080/file/021217-77.jpg] причем на концах интервала ортогональности выполняются условия [img: http://localhost:8080/file/021217-78.jpg] 2) Многочлен у=Р п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению [img: http://localhost:8080/file/021217-79.jpg] 3) Имеет место обобщенная Родрига формула [img: http://localhost:8080/file/021217-80.jpg] где с п- некоторый нормировочный коэффициент. 4) Производные К. о. м. суть также К. о. м. и ортогональны на том же интервале ортогональности, вообще говоря, с другим весом. 5) Для производящей функции [img: http://localhost:8080/file/021217-81.jpg] имеет место представление [img: http://localhost:8080/file/021217-82.jpg] где l=l{х, w)- тот корень квадратного уравнения z-х-wB(z)=0, который при малых |w| ближе расположен к точке х. Этими свойствами обладают только три из указанных систем ортогональных многочленов, а также системы, полученные из этих трех линейными преобразованиями независимого переменного. В обобщенной формуле Родрига нормировочный коэффициент с п обычно выбирается тремя различными способами с целью получения ортонормированных многочленов, либо ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом, либо так наз. стандартизованных ортогональных многочленов, к-рые вводятся потому, что наиболее удобны в применениях и основные формулы для них имеют наиболее простой вид. К. о. м. являются собственными функциями нек-рых задач на собственные значения для уравнений типа Штурма - Лиувилля, причем в этих задачах каждая система ортогональных многочленов (многочлены Якоби, многочлены Эрмита, многочлены Лагерра) является единственной последовательностью решений соответствующей системы уравнений (см. [4], с. 110). Частные случаи К. о. м. определяются следующим выбором весовой функции и интервала ортогональности: 1) Многочлены Якоби {Р п (х;a, b} ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)a(i+x)b, где a>-1, b>-1. В частности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра {Р п (х;a)}. Лежандра многочлены {Р n (х)}соответствуют значениям a=b=0 и ортогональны на сегменте [ - 1,1] с весом j(x)=1. Если [img: http://localhost:8080/file/021217-83.jpg] т. е. j(x)=[(1-х)(1+х)]-1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода {Т п (х)}, а при [img: http://localhost:8080/file/021217-84.jpg] - многочлены Чебышева второго рода {Un(x)}. 2) Многочлены Эрмита {Н n (х)}ортогональны на интервале [img: http://localhost:8080/file/021217-85.jpg] с весом j(x) = ехр(- х 2) 3) Многочлены Лагерра {L п (х;a)}ортогональны на интервале [img: http://localhost:8080/file/021217-86.jpg] с весом j(x) = xae-x, где a>-1.