Клеточное разбиение

CW - комплекс,- клеточный комплекс X, удовлетворяющий следующим условиям: (С) Для любой точки [img: http://localhost:8080/file/021218-89.jpg] комплекс X(х)является конечным, т. е. состоит из конечного числа клеток (для произвольного подмножества А клеточного комплекса Xчерез X(А)обозначается пересечение всех подкомплексов комплекса X, содержащих множество A).(W) Если F- нек-рое множество клеточного комплекса X, и для любой клетки tиз клеточного комплекса Xпересечение [img: http://localhost:8080/file/021218-90.jpg] замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/021218-91.jpg] (а следовательно и в X), то Fявляется замкнутым подмножеством в X. При этом каждая точка [img: http://localhost:8080/file/021218-92.jpg] принадлежит некоторой определенной клетке tx из клеточного комплекса X, и выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/021218-93.jpg] Обозначение CW получено из первых букв англ. названий вышеприведенных двух условий: (С) - Closure finiteness (конечность замыкания) и (W) - Weak topology (слабая топология). Конечный клеточный комплекс Xудовлетворяет обоим условиям (С) и (W). Вообще, клеточный комплекс X, в к-ром каждая точка хсодержится в нек-ром конечном подкомплексе Y(х), есть К. р. Пусть для нек-рого множества Fиз Xмножество [img: http://localhost:8080/file/021218-94.jpg] замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/021218-95.jpg] при любом выборе клетки (из I. Тогда для любой точки [img: http://localhost:8080/file/021218-96.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/021218-97.jpg] замкнуто в X. Если теперь точка хне принадлежит множеству F, то открытое множество [img: http://localhost:8080/file/021218-98.jpg] содержит точку хи не пересекается с F. Множество [img: http://localhost:8080/file/021218-99.jpg] - открыто, а множество F- замкнуто. Класс К. р. (или класс пространств, каждое из к-рых имеет гомотопический тип К. р.) является наиболее подходящим классом топологич. пространств для построения содержательной теории гомотопии. Так: если подмножество АК. р. Xзамкнуто, то отображение f топологич. пространства Ав топологич. пространство У непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны ограничения отображения f на замыкания клеток комплекса X. Если С- компактное подмножество К. р. X, то комплекс X(С)конечный. Для любой клетки tиз К. р. Xсуществует множество D, открытое в [img: http://localhost:8080/file/021218-100.jpg] к-рое допускает в качестве деформационного ретракта множество [img: http://localhost:8080/file/021218-101.jpg] Практически К. р. строятся последовательно: каждая стадия состоит в приклеивании клеток данной размерности к результату предшествующей стадии. Клеточная структура такого комплекса находится в прямой связи с его гомотопич. свойствами. Даже для таких "хороших" пространств, как полиэдры, полезно рассматривать их представление в виде К. р.: в таком представлении они обычно имеют меньше клеток, чем при симплициальной триангуляции. Если пространство Xполучено приклеиванием n-мерных клеток к пространству А, то подмножество [img: http://localhost:8080/file/021218-102.jpg] где I=[0, 1] является сильным деформационным ретрактом пространства [img: http://localhost:8080/file/021218-103.jpg] Относительным К. р. наз. пара (X, А), состоящая из топологич. пространства Xи его замкнутого подпространства А, а также такой последовательности замкнутых подпространств (X, А)k, [img: http://localhost:8080/file/021218-104.jpg] что выполняются следующие условия: а) пространство (X, А)o получено из Априклеиванием нульмерных клеток; б) при [img: http://localhost:8080/file/021218-105.jpg] пространство (X, А)k получается приклеиванием k-мерных клеток к пространству (X, А)k-1, в) пространство X=U(X, A)k;. г) топология пространства Xсогласована с семейством {(X, А)k}. Пространство (X, A)k наз. k-м ерным остовом пространства Xотносительно А. При [img: http://localhost:8080/file/021218-106.jpg] относительное К. р. [img: http://localhost:8080/file/021218-107.jpg] есть К. р. в прежнем смысле, его k- мерный остов - Х k. Примеры: 1) Пара (К, L)симплициальных комплексов Ки L, [img: http://localhost:8080/file/021218-108.jpg] определяет относительное К. р. (|К|, |L|), где (|К|, |L|)k=(KkUL).2) Шар Vn есть К. p.: (Vn)k=p0 при k<n-i,(Vn)n-1=Sn-1 и(V)k при [img: http://localhost:8080/file/021218-109.jpg] Сфера Sn-1 есть подразбиение этого К. р. Vn.3) Если пара (X, А)есть относительное К. р., то [img: http://localhost:8080/file/021218-110.jpg] - также К. р., и [img: http://localhost:8080/file/021218-111.jpg] =((Х, А)k [img: http://localhost:8080/file/021218-112.jpg] 0 [img: http://localhost:8080/file/021218-113.jpg] 1) [img: http://localhost:8080/file/021218-114.jpg] ((Х, А)k-1 [img: http://localhost:8080/file/021218-115.jpg] I).4) Если (X, А)есть относительное К. р.,то Х/А есть К. р., при этом (X/А)k=(Х, А)k /А, где X/А -факторпространство пространства X, полученное отождествлением всех точек множества Ас одной точкой.