Клиффорда алгебра

- конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Клиффордом (W. Clifford) в 1876. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей, Е- свободный K-модуль, Q - квадратичная форма на Е. К. а. квадратичной формы Q(или пары (Е. Q))наз. факторалгебра С(Q)тензорной алгебры Т(Е)А-модуля Епо двустороннему идеалу, порожденному элементами вида [img: http://localhost:8080/file/021219-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021219-55.jpg] Элементы из Еотождествляются с соответствующими классами смежности в C(Q). Для любых [img: http://localhost:8080/file/021219-56.jpg] имеет место тождество xу + уx=Ф(x,у)-1, где Ф: [img: http://localhost:8080/file/021219-57.jpg] - ассоциированная с Qсимметрическая билинейная форма. Для нулевой квадратичной формы Qалгебра С(Q)совпадает с внешней алгеброй [img: http://localhost:8080/file/021219-58.jpg] K -модуля Е. Если Х= R- поле действительных чисел, a Q- невырожденная квадратичная форма на n-мерном векторном пространстве Енад R., то C(Q)совпадает с алгеброй l А п+1 альтернионов, где l- число положительных квадратов в канонич. виде формы Q. Пусть е 1,..., е n- базис if-модуля Е, тогда элементы 1, е i1... е ik(i1<...<ik) образуют базис К- модуля C(Q). В частности, C(Q)является свободным К-модулем ранга 2n. Если, кроме того, е 1,..., е п ортогональны относительно Q, то С(Q)можно задать как К-алгебру с образующими 1,е 1,.... е п и определяющими соотношениями е i е j= -ejei [img: http://localhost:8080/file/021219-59.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021219-60.jpg] Подмодуль C(Q), порожденный произведениями четного числа элементов из Е, образует подалгебру в C(Q), к-рая обозначается через C+(Q). Пусть К- поле и квадратичная форма Qневырождена. При четном палгебра С(Q)является центральной простой алгеброй над Кразмерности 2Щ, подалгебра С+ (Q)сепарабельна, а ее центр Zимеет размерность 2 над К. Если Калгебраически замкнуто, то при четном п С(Q).- матричная алгебра, a C+(Q)- произведение двух матричных алгебр (если же пнечетно, то, наоборот, C+(Q)- матричная, a C(Q)- произведение двух матричных алгебр). Обратимые элементы s алгебры С(Q)(соответственно С +(Q))такие, что sEs-1 = E, образуют группу Клиффорда G(Q)квадратичной формы Q(соответственно специальную группу Клиффорда G+ (Q). Ограничение преобразований [img: http://localhost:8080/file/021219-61.jpg] на подпространство Еопределяет гомоморфизм j: G(Q)->O(Q), где O(Q)- ортогональная группа квадратичной формы Q. Ядро Кеr j состоит из обратимых элементов алгебры Z и [img: http://localhost:8080/file/021219-62.jpg] Если пчетно, то j(G(Q)) = O(G),a j(G+(Q)) = O+(Q)есть подгруппа ин-; декса 2 в O(Q), совпадающая со специальной ортогональной группой SO(Q)в случае, когда характеристика Котлична от 2. Если пнечетно, то [img: http://localhost:8080/file/021219-63.jpg] Пусть Р: C(Q)->C(Q)- антиавтоморфизм К. а. C(Q), индуцированный антиавтоморфизмом [img: http://localhost:8080/file/021219-64.jpg] тензорной алгебры Т(Е). Группа [img: http://localhost:8080/file/021219-65.jpg] наз. сп и норной группой квадратичной формы Q(или К. a. C{Q)). Гомоморфизм j: [img: http://localhost:8080/file/021219-66.jpg] имеет ядро [img: http://localhost:8080/file/021219-67.jpg] Если k = C или k=R и Qположительно определена, то Imj=0+ (Q) = SO(Q)и Spin(Q) совпадает с классической спинорной группой.