Клиффордова полугруппа

вполне регулярная полугрупп а,- полугруппа, каждый элемент к-рой является групповым, т. е. принадлежит нек-рой подгруппе. Элемент полугруппы будет групповым тогда и только тогда, когда он вполне регулярен (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть К. п. эквивалентно каждому из следующих: 1) для любого [img: http://localhost:8080/file/021219-70.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/021219-71.jpg] 2) каждый односторонний идеал Iиз Sизолирован, т. е. из того, что [img: http://localhost:8080/file/021219-72.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/021219-73.jpg] при любом натуральном п. К. п. наряду с инверсными полугруппами представляют собой один из важнейших типов регулярных полугрупп. Их изучение началось с основополагающей работы А. Клиффорда [1]. Произвольная К. п. обладает (единственным) разбиением на группы, классы к-рого суть в точности [img: http://localhost:8080/file/021219-74.jpg] -классы (см. Грина отношения эквивалентности). Указанное разбиение не всегда будет связкой (см. Связка полугрупп);условия, когда это так, известны (см. [3]). Отношения Грина [img: http://localhost:8080/file/021219-75.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021219-76.jpg] на К. п. совпадают. Всякая вполне простая полугруппа будет К. п., причем для К. п. свойство быть вполне простой эквивалентно идеальной простоте (см. Простая полугруппа). Произвольная К. п. Sразлагается в полуструктуру вполне простых полугрупп, это разложение единственно, его компоненты суть в точности [img: http://localhost:8080/file/021219-77.jpg] -классы, а соответствующая факторполуструктура изоморфна полуструктуре главных идеалов полугруппы S;обратно, всякая полугруппа, разложимая в полуструктуру вполне простых полугрупп, есть К. п. Для К. п. Sследующие условия эквивалентны: 1) Sинверсна; 2) каждый идемпотент из Sлежит в центре, т. е. перестановочен с любым элементом из S;3) каждый односторонний идеал полугруппы Sявляется двусторонним; 4) отношения Грина [img: http://localhost:8080/file/021219-78.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021219-79.jpg] на Sсовпадают; 5) Sесть полуструктура групп; 6) Sразложима в подпрямое произведение групп и групп с присоединенным нулем. Указанное выше разложение произвольной К. п. в полуструктуру вполне простых полугрупп определяет ее "грубое строение". Закон перемножения элементов в компонентах этого разложения описывает теорема Риса (см. Вполне простая полугруппа). Дальнейшее изучение К. п. в значительной степени направлено на выяснение "тонкого строения", т. е. закона перемножения элементов из различных компонент. В случае, когда эти компоненты - группы, т. е. для инверсных К. п., известно следующее конструктивное описание в терминах так наз. суммы прямого спектра групп. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021219-80.jpg] - семейство попарно непересекающихся групп, А- полуструктура (см. Идемпотентов полугруппа)и каждой паре элементов [img: http://localhost:8080/file/021219-81.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/021219-82.jpg] поставлен в соответствие гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021219-83.jpg] причем ja, a для любого а есть тождественный автоморфизм и для любых [img: http://localhost:8080/file/021219-84.jpg] имеет место ja, b Хjb, g=ja, g. На объединении [img: http://localhost:8080/file/021219-85.jpg] зада-, ется умножение Х, а именно, аХb=аХja, abbja, ab для любых [img: http://localhost:8080/file/021219-86.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021219-87.jpg] Тогда Sпревращается в инверсную К. л. Обратно, каждая инверсная К. п. может быть получена указанным способом. В общем случае проблема "тонкого строения" К. п. чрезвычайно усложняется, и удовлетворительного ее решепия пока (1978) нет. Некоторые весьма сложные конструкции, описывающие К. п. в терминах вполне простых полугрупп, их сдвиговых оболочек, полуструктур, отображений со специальными свойствами, приведены в [5]. Больший прогресс достигнут в случае ортодоксальных К. п. (см. Регулярная полугруппа);такие полугруппы наз. ортогруппами. Для них имеется несколько обозримых, хотя и довольно громоздких конструкций (см. [2]). Все упомянутые конструкции так или иначе обобщают приведенное выше описание инверсных К. п., полученное в [1].