Ковариантная производная

- обобщение понятия производной для полей различных геометрических объектов на многообразиях - векторов, тензоров, форм и т. д. Это - линейный оператор С X, действующий на модуле тензорных полей [img: http://localhost:8080/file/021220-125.jpg] данной валентности и определяемый по векторному полю Xна многообразииМследующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/021220-126.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021220-127.jpg] f, g- дифференцируемые функции на М. По линейности это отображение распространяется на алгебру тензорных полей, причем для тензорного произведения [img: http://localhost:8080/file/021220-128.jpg] тензоров Uи V: [img: http://localhost:8080/file/021220-129.jpg] Таким образом, отображение С X является дифферен цированием алгебры тензорных полей; оно обладает дополнительными свойствами перестановочности с операциями свертки, альтернирования и симметрирования тензоров. Свойства 1) и 2) отображения С X позволяют ввести на Млинейную связность (и соответствующее параллельное перенесение) и на ее основе дать локальное определение К. п., к-рая, будучи распространенной на все многообразие, совпадает с определенным здесь оператором С X; cм. также Ковариантное дифференцирование. И. X. Сабитов.