Когерентный алгебраический пучок

- когерентный пучок модулей на алгебраич. многообразии или схеме. Структурный пучок нётеровой схемы и, в частности, алгебраич. многообразия является когерентным. К. а. п.- удобное средство исследования алгебраич. многообразий. Интуитивно К. а. п. соответствуют представлению о непрерывной алгебраич. системе линейных пространств на многообразии (см. Векторное расслоение на алгебраическом многообразии) и возникают при рассмотрении линейных и алгебраич. семейств дивизоров, вложений многообразия в проективное пространство, дифференциальных форм, векторных полей и автоморфизмов, деформаций многообразий и подмногообразий, одним словом - при линеаризации всевозможных задач алгебраич. геометрии (см. [3]). Результаты при этом формулируются в терминах когомологий К. а. п. Теория когомологий К. а. п. включает: а) конечности теоремы (в алгебраической геометрии), утверждающие конечномерность пространств когомологий [img: http://localhost:8080/file/021221-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021221-43.jpg] когерентного пучка [img: http://localhost:8080/file/021221-44.jpg] на полном многообразии Х;б) Римана- Роха теорему, вычисляющую характеристику Эйлера-Пуанкаре К. а. п.; в) теоремы об обращении в нуль высших когомологий типа теоремы Серра (см. Аффинная схема)или Кодаиры теоремы, (см. [4], [5]); г) теоремы двойственности (см. Двойственность в алгебраической геометрии), связывающие i-мерные и (п-i)-мерные когомологий пучков на гладком многообразии размерности п;д) Кюннета формулы, выражающие когомологий некоторых пучков на произведении многообразий; е) сравнения теоремы в алгебраич. геометрии с другими теориями когомологий- аналитическими, формальными, этальными; ж) теорию локальных когомологий, полезную при изучении К. а. п. на неполных многообразиях. Одно из важнейших ее применений относится к Лефшеца теореме, сравнивающей свойства многообразия и его гиперплоского сечения. Многие результаты обобщаются на случай, когда одно многообразие Xзаменяется семейством многообразий, т. е. на случай морфизма [img: http://localhost:8080/file/021221-45.jpg] Пространства когомологий заменяются при этом пучками [img: http://localhost:8080/file/021221-46.jpg] производных от функтора прямого образа [img: http://localhost:8080/file/021221-47.jpg] большую роль здесь играет поведение этих функторов при замене базы. См. также Квазикогерентный пучок, Когомологий со значениями в пучке.