Когомологий алгебр ли

- специальный случай когомологий алгебр. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-46.jpg] - алгебра Ли над коммутативным кольцом Кс единицей и пусть задан левый [img: http://localhost:8080/file/021222-47.jpg] -модуль V. т. е. линейное над Кпредставление алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-48.jpg] в K-модуле V. Модулем р-м ерных когомологий алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-49.jpg] со значениями в F наз. [img: http://localhost:8080/file/021222-50.jpg] (К, V), р = 0, 1, 2,..., где [img: http://localhost:8080/file/021222-51.jpg] -универсальная обертывающая алгебра алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-52.jpg] [3]. Иначе говоря, соответствие [img: http://localhost:8080/file/021222-53.jpg] есть p-й правый производный функтор для функтора [img: http://localhost:8080/file/021222-54.jpg] из категории [img: http://localhost:8080/file/021222-55.jpg] -модулей в категорию K-модулей, где [img: http://localhost:8080/file/021222-56.jpg] }. Функтор [img: http://localhost:8080/file/021222-57.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021222-58.jpg] является когомологическим (см. Гомологический функтор). В малых размерностях К. а. Ли интерпретируются следующим образом. Модуль [img: http://localhost:8080/file/021222-59.jpg] совпадает с [img: http://localhost:8080/file/021222-60.jpg] Если V', V"- [img: http://localhost:8080/file/021222-61.jpg] -модули, то [img: http://localhost:8080/file/021222-62.jpg] можно отождествить с множеством классов эквивалентных расширений [img: http://localhost:8080/file/021222-63.jpg] -модуля V" с ядром V'. Если рассматривать [img: http://localhost:8080/file/021222-64.jpg] как [img: http://localhost:8080/file/021222-65.jpg] -модуль относительно присоединенного представленияad, то [img: http://localhost:8080/file/021222-66.jpg] изоморфен фактормодулю [img: http://localhost:8080/file/021222-67.jpg] модуля всех дифференцирований по подмодулю внутренних дифференцирований. Если [img: http://localhost:8080/file/021222-68.jpg] есть свободный K-модуль (напр., К- поле), то [img: http://localhost:8080/file/021222-69.jpg] отождествляется с множеством классов эквивалентных расширений алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-70.jpg] ядром к-рых служит абелева алгебра Ли Vс заданным представлением алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-71.jpg] Модуль [img: http://localhost:8080/file/021222-72.jpg] интерпретируется также как множество инфинитезимальных деформаций алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-73.jpg] Имеется следующая связь между К. а. Ли и когомологиями ассоциативных алгебр; если [img: http://localhost:8080/file/021222-74.jpg] - свободный K-модуль и V- произвольный двусторонний [img: http://localhost:8080/file/021222-75.jpg] -модуль, то [img: http://localhost:8080/file/021222-76.jpg] где представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-77.jpg] в Vопределяется формулой [img: http://localhost:8080/file/021222-78.jpg] Другой способ введения К. а. Ли (см. [6], [14]) использует коцепной комплекс [img: http://localhost:8080/file/021222-79.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021222-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021222-81.jpg] - модуль всех кососимметрических р-линейных отображений [img: http://localhost:8080/file/021222-82.jpg] снабженный кограницей [img: http://localhost:8080/file/021222-83.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/021222-84.jpg] где знак [img: http://localhost:8080/file/021222-85.jpg] показывает, что соответствующий аргумент пропускается. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/021222-86.jpg] - свободный К- модуль, когомологии этого комплекса естественно изоморфны модулям [img: http://localhost:8080/file/021222-87.jpg] С каждой подалгеброй [img: http://localhost:8080/file/021222-88.jpg] связывается подкомплекс [img: http://localhost:8080/file/021222-89.jpg] приводящий к относительным кого мологиям [img: http://localhost:8080/file/021222-90.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021222-91.jpg] Если V-алгебра над К, на к-рой [img: http://localhost:8080/file/021222-92.jpg] действует дифференцированиями, то в когомологиях возникает естественное умножение, к-рое превращает [img: http://localhost:8080/file/021222-93.jpg] в градуированную алгебру. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-94.jpg] - алгебра Ли (над R)гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии М, V=F(M)- пространство гладких функций на Мс естественной структурой [img: http://localhost:8080/file/021222-95.jpg] -модуля. Определение кограницы в [img: http://localhost:8080/file/021222-96.jpg] формально совпадает с определением внешнего дифференциала дифференциальной формы. Точнее, комплекс де Рама есть подкомплекс в [img: http://localhost:8080/file/021222-97.jpg] состоящий из коцепей, линейных над F(M). С другой стороны, если [img: http://localhost:8080/file/021222-98.jpg] - алгебра Ли связной вещественной группы Ли G, то комплекс [img: http://localhost:8080/file/021222-99.jpg] отождествляется с комплексом левоинвариантных дифференциальных форм на G. Аналогично, если [img: http://localhost:8080/file/021222-100.jpg] - подалгебра, отвечающая связной замкнутой подгруппе [img: http://localhost:8080/file/021222-101.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021222-102.jpg] естественно изоморфен комплексу G-инвариантных дифференциальных форм на многообразии G/H. В частности, если Gкомпактна, то отсюда получаются изоморфизмы градуированных алгебр: [img: http://localhost:8080/file/021222-103.jpg] Именно эти факты послужили отправной точкой при определении К. а. Ли. На них основаны и приложения аппарата К. а. Ли к изучению когомологии главных расслоений и однородных пространств (см. [8], [14]). Двойственным образом определяются гомологии алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-104.jpg] с коэффициентами в правом [img: http://localhost:8080/file/021222-105.jpg] -модуле V. А именно, р-мерная группа гомологии есть K-модуль [img: http://localhost:8080/file/021222-106.jpg] В частности, [img: http://localhost:8080/file/021222-107.jpg] а если V- тривиальный [img: http://localhost:8080/file/021222-108.jpg] -модуль, то [img: http://localhost:8080/file/021222-109.jpg] При вычислении К. а. Ли широко используются следующие спектральные последовательности, часто наз. спектральными последовательностями Хохшильда - Серра. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-110.jpg] - идеал в [img: http://localhost:8080/file/021222-111.jpg] и V- некоторый [img: http://localhost:8080/file/021222-112.jpg] - модуль. Если [img: http://localhost:8080/file/021222-113.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021222-114.jpg] - свободные K-модули, то существует спектральная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021222-115.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/021222-116.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021222-117.jpg] сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/021222-118.jpg] (см. [3], [14]). Аналогичная спектральная последовательность существует для гомологии [3]. Далее, пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-119.jpg] - конечномерная алгебра Ли над полем Кхарактеристики О, [img: http://localhost:8080/file/021222-120.jpg] - ее подалгебры, причем [img: http://localhost:8080/file/021222-121.jpg] редуктивна в [img: http://localhost:8080/file/021222-122.jpg] V- [img: http://localhost:8080/file/021222-123.jpg] -модуль, являющийся полупростым [img: http://localhost:8080/file/021222-124.jpg] -модулем. Тогда существует спектральная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021222-125.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/021222-126.jpg] сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/021222-127.jpg] (см. [12], [14]). Полностью изучены когомологии конечномерных редуктивных и, в частности, полупростых алгебр Ли над полем характеристики 0. Если [img: http://localhost:8080/file/021222-128.jpg] - полупростая конечномерная алгебра Ли над таким полем, то для любого конечномерного [img: http://localhost:8080/file/021222-129.jpg] -модуля Vимеют место равенства [img: http://localhost:8080/file/021222-130.jpg] (леммы Уайтхеда). Первое из этих свойств является и достаточным условием полупростоты конечномерной алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-131.jpg] и равносильно также полупростоте всех конечномерных [img: http://localhost:8080/file/021222-132.jpg] -модулей. Второе свойство равносильно теореме Леви (см. Леви- Мальцева разложение). для алгебр Ли с абелевым радикалом [1], [5], [14]. Если [img: http://localhost:8080/file/021222-133.jpg] - редуктивная алгебра Ли, [img: http://localhost:8080/file/021222-134.jpg] - ее подалгебра и V- конечномерный полупростой модуль, то [img: http://localhost:8080/file/021222-135.jpg] что сводит вычисление когомологии к случаю тривиального [img: http://localhost:8080/file/021222-136.jpg] -модуля: V=K (см. [5], [14]). Алгебра когомологии [img: http://localhost:8080/file/021222-137.jpg] редуктивной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-138.jpg] естественно изоморфна алгебре [img: http://localhost:8080/file/021222-139.jpg] коцепей, инвариантных относительно ad. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/021222-140.jpg] является алгеброй Хопфа и, следовательно, есть внешняя алгебра над пространством [img: http://localhost:8080/file/021222-141.jpg] примитивных элементов, градуированных нечетными степенями 2mi-1, i=l,..., r. В частности, [img: http://localhost:8080/file/021222-142.jpg] есть размерность центра алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-143.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/021222-144.jpg] изоморфно пространству инвариантных квадратичных форм на [img: http://localhost:8080/file/021222-145.jpg] (см. [12], [14]). Если Калгебраически замкнуто, то rесть ранг алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-146.jpg] т. е. размерность ее подалгебры Картана [img: http://localhost:8080/file/021222-147.jpg] а mi суть степени свободных образующих в алгебре многочленов на [img: http://localhost:8080/file/021222-148.jpg] инвариантных относительно ad (или в изоморфной, ей алгебре многочленов на [img: http://localhost:8080/file/021222-149.jpg] инвариантных относительно группы Вейля). В этом случае числа 2mi-1 совпадают с размерностями примитивных классов когомологии соответствующей компактной группы Ли. Алгебра гомологии [img: http://localhost:8080/file/021222-150.jpg] редуктивной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-151.jpg] над полем характеристики 0 есть внешняя: алгебра, двойственная к [img: http://localhost:8080/file/021222-152.jpg] Для любой n-мерной унимодулярной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-153.jpg] справедлив аналог двойственности Пуанкаре: [img: http://localhost:8080/file/021222-154.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021222-155.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021222-156.jpg] - любая m-мерная редуктивная в [img: http://localhost:8080/file/021222-157.jpg] подалгебра (см. [14], [16]). Для когомологии разрешимых алгебр Ли известны, лишь немногие сколько-нибудь общие утверждения. Напр., пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-158.jpg] - конечномерная нильпотентная алгебра Ли над бесконечным полем, а V- конечномерный [img: http://localhost:8080/file/021222-159.jpg] -модуль. Тогда [img: http://localhost:8080/file/021222-160.jpg] для всех р, если в Vнет тривиальных [img: http://localhost:8080/file/021222-161.jpg] -подмодулей, и [img: http://localhost:8080/file/021222-162.jpg] для р=0, l,...,n = dim [img: http://localhost:8080/file/021222-163.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/021222-164.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/021222-165.jpg] если такой [img: http://localhost:8080/file/021222-166.jpg] -подмодуль существует (см.. [7]). Хорошо изучены группы Н p(n, V), где n - нильпотентный радикал параболической подалгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-167.jpg] в некоторой полупростой алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/021222-168.jpg] над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, а представление алгебры n в Vявляется ограничением некоторого представления алгебры [img: http://localhost:8080/file/021222-169.jpg] в V(см. [11]). Эти когомологии тесно связаны с когомологиями комплексного однородного пространства G/P, отвечающего паре [img: http://localhost:8080/file/021222-170.jpg] со значениями в пучках ростков голоморфных сечений однородных векторных расслоений над G/P. Для вычисления когомологий неполупростых конечномерных алгебр Ли над полем характеристики О полезна формула [img: http://localhost:8080/file/021222-171.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021222-172.jpg] - идеал в [img: http://localhost:8080/file/021222-173.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/021222-174.jpg] полупроста [14]. В некоторых случаях можно установить связь между К. а. Ли и когомологиями групп. Пусть G- связная вещественная группа Ли, К- ее максимальная компактная подалгебра, [img: http://localhost:8080/file/021222-175.jpg] - их алгебры Ли, V - конечномерный гладкий G-модуль. Если определить в V естественную структуру [img: http://localhost:8080/file/021222-176.jpg] -модуля, то когомологий [img: http://localhost:8080/file/021222-177.jpg] изоморфны когомологиям группы G{как абстрактной группы), вычисленным с помощью непрерывных коцепей [10]. С другой стороны, пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-178.jpg] - алгебра Ли односвязной разрешимой группы Ли G, Г - решетка в Gи [img: http://localhost:8080/file/021222-179.jpg] - гладкое конечномерное линейное представление. Если r(Г) [img: http://localhost:8080/file/021222-180.jpg] AdГ плотна по Зарискому в алгебраич. замыкании группы [img: http://localhost:8080/file/021222-181.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021222-182.jpg] (см. [4]). В общем случае [img: http://localhost:8080/file/021222-183.jpg] (р=0,1,...). Для нильпотентной Q достаточно потребовать, чтобы р было унипотентным. Если решетка Г в односвязной разрешимой группе Gтакова, что AdГ плотна в алгебраич. замыкании группы AdГ (напр., Gнильпотентна), то [img: http://localhost:8080/file/021222-184.jpg] В последние годы стали систематически изучаться когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли. К ним относятся алгебра [img: http://localhost:8080/file/021222-185.jpg] векторных полей на дифференцируемом многообразии М, алгебра Ли формальных векторных полей, подалгебры этих алгебр, состоящие из бездивергентных, гамильтоновых или канонических векторных полей (см. [2], [13]), а также некоторые классические банаховы алгебры Ли [9].