Когомологий банаховых алгебр

- группы Н п(А, X), [img: http://localhost:8080/file/021222-186.jpg] где X - банахов бимодуль над банаховой алгеброй А, определяемые как когомологий коцепного комплекса [img: http://localhost:8080/file/021222-187.jpg] n-мерные цепи к-рого являются непрерывными n-линейными операторами из Ав X, а [img: http://localhost:8080/file/021222-188.jpg] К. б. а. могут быть также введены с помощью банахова аналога функтора Ext, есть и их аксиоматическое определение. Аналогично когомологиям алгебр, элементы одномерных К. б. а. реализуются как непрерывные дифферендирования из Ав X"по модулю внутренних", а элементы двумерных - как препятствия к расщепимости сингулярных расширений Ас ядром X. В то же время на языке К. б. а. выражается ряд специфических понятий анализа и топологии. Алгебра Атакая, что Н 2(А, Х)=0 для всех X, наз. вполне отделимой; эти алгебры характеризуются тем, что все их сингулярные расширения расщепимы. Специфика банаховых структур сказывается в том, что такое требование является весьма жестким: вполне отделимая коммутативная банахова алгебра необходимо имеет конечный спектр (пространство максимальных идеалов). В частности, вполне отделимая алгебра функций совпадает с прямой суммой конечного числа полей комплексных чисел. Класс банаховых алгебр с тривиальными когомологиями в высших [img: http://localhost:8080/file/021222-189.jpg] размерностях уже не столь узок: таковы, напр., бипроективные алгебры - алгебры А, проективные, как банахов А-бимодуль. Бипроективными являются L1- и С*-алгебра компактной группы, а также алгебры ядерных операторов во всех классических примерах банаховых пространств. При нек-рых условиях на банахову структуру топологически простые бипроективные алгебры допускают полное описание, а любая полупростая бипроективная алгебра разлагается в их топологич. прямую сумму. Коммутативная алгебра наз. слабо наследственной, если ее максимальные идеалы проективны. Это свойство эквивалентно тривиальности Н 2(А, X)с теми X, у к-рых ха=l х при всех [img: http://localhost:8080/file/021222-190.jpg] Для прективности идеала в коммутативной банаховой алгебре Анеобходимо, а при A = C(W). и достаточно, чтобы его спектр был паракомпактен. В частности, слабая наследственность алгебры С(Я)эквивалентна паракомпактности всех множеств вида [img: http://localhost:8080/file/021222-191.jpg] Пространство, сопряженное к A-бимодулю X, само есть A-бимодуль. Алгебры с Н п(А, X*) = 0 при всех Xи n>0 наз. аменабельными, поскольку для A=L1(G)такое свойство равносильно аменабельности (усреднимости) самой G. В общем случае Ааменабельна тогда и только тогда, когда алгебра [img: http://localhost:8080/file/021222-192.jpg] обладает ограниченной аппроксимативной единицей.