Когомологий групп

- исторически первая теория когомологий алгебр. Любой паре (G, А), где G- группа, а А - левый G-модуль, т. е. модуль над целочисленным групповым кольцом Z(G), сопоставляется последовательность абелевых групп Hn(G, А), называемых группами когомологий группы Gс коэффициентами в А. Число п, пробегающее все целые неотрицательные значения, наз. размерностью группы Hn(G, А). Группы К. г. являются важными инвариантами, содержащими информацию как о группе G, так и о модуле А. Группа H0(G, А)равна, по определению, НоmG(Z, А) [img: http://localhost:8080/file/021222-193.jpg] А G, где А G - подмодуль G-инвариантных элементов в А. Группы Hn(G, А)для [img: http://localhost:8080/file/021222-194.jpg] определяются как значения n-го производного функтора от функтора [img: http://localhost:8080/file/021222-195.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-196.jpg] - некоторая проективная резольвента тривиального G-модуля Zв категории G-модулей, т. е. точная последовательность, в которой все модули Р, проективны. Тогда Hn(G, A)- это n-я группа когомологий комплекса [img: http://localhost:8080/file/021222-197.jpg] где отображения d'n индуцированы отображениями drl, т. Группы гомологии групп определяются при помощи двойственной конструкции с заменой всюду функтора HomG функтором [img: http://localhost:8080/file/021222-198.jpg] Набор функторов [img: http://localhost:8080/file/021222-199.jpg] является когомологическим функтором (см. Гомологический функтор)на категории левых G-модулей. Модуль вида В = Нот(Z [G], X), где X- абелева группа, a Gдействует на Впо формуле [img: http://localhost:8080/file/021222-200.jpg] наз. коиндуцированным. Для инъективных и коиндуцированных модулей A Hn(G, A) = 0 при [img: http://localhost:8080/file/021222-201.jpg] Любой модуль Аизоморфен подмодулю нек-рого коиндуцированного модуля В. Точная когомологическая последовательность для последовательности [img: http://localhost:8080/file/021222-202.jpg] определяет изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/021222-203.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021222-204.jpg] и точную последовательность. [img: http://localhost:8080/file/021222-205.jpg] Таким образом, вычисление n+1-мерной группы когомологий для модуля Асводится к вычислению n-мерной группы когомологий для модуля В/А. Этот прием наз. сдвигом размерностей. Сдвиг размерностей позволяет дать аксиоматическое определение групп когомологий, а именно, их можно определить как последовательность функторов [img: http://localhost:8080/file/021222-206.jpg] из категории G-модулей в категорию абелевых групп, образующую когомологический функтор и удовлетворяющую условию Hn(G, B) = 0 при [img: http://localhost:8080/file/021222-207.jpg] для любого коиндуцированного модуля В. Группы Hn(G, А)можно определить также как классы эквивалентности точных последовательностей G-модулей вида [img: http://localhost:8080/file/021222-208.jpg] относительно подходящим образом определенной эквивалентности (см. [1], гл. 3, 4). Для вычисления групп когомологий обычно используют стандартную резольвенту тривиального G-модуля Z, в которой Р п=Z[Gn + 1]и для [img: http://localhost:8080/file/021222-209.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021222-210.jpg] где знак [img: http://localhost:8080/file/021222-211.jpg] означает, что член gi опущен. Коцепи из НоmG(Р n, А)- это функции f(g0,..., gn)такие, что gf(g0,..., gn)=f(gg0,..., ggn). Делая замену переменных по формулам g0=1, g1=h1, g2=h1h2, gn=h1h2...hn, можно перейти к неоднородным коцепям f(h1,..., hn). Действие кограничного оператора на них таково: [img: http://localhost:8080/file/021222-212.jpg] напр., одномерный коцикл - это функция f: [img: http://localhost:8080/file/021222-213.jpg] такая, что f(glg2) = g1f(g2)+f(g1). для [img: http://localhost:8080/file/021222-214.jpg] а кограница - функция вида f(g) = ga -адля нек-рого [img: http://localhost:8080/file/021222-215.jpg] Одномерный коцикл наз. также скрещенным гомоморфизмом, а одномерная коцепь - тривиальным скрещенным гомоморфизмом. В случае, когда G действует на Атривиально, скрещенные гомоморфизмы совпадают с обычными гомоморфизмами, а все тривиальные скрещенные гомоморфизмы равны 0, т. е. в этом случае H1(G, A)=Hom (G, А). Элементы группы H1(G, А). можно интерпретировать как классы автоморфизмов группы F, содержащейся в точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/021222-216.jpg] тождественные на Аи на G по модулю сопряжений элементами [img: http://localhost:8080/file/021222-217.jpg] Элементы группы Н 2(G, А) интерпретируются как классы расширений группы Ас помощью G. Наконец, группа H3(G, А)допускает интерпретацию в качестве препятствий для расширений неабелевой группы Нс центром Ас помощью G (см. [1]). Для n>3 аналогичная интерпретация групп Hn(G, А)неизвестна (1978). Если Н- подгруппа группы G, то ограничение коциклов с G на Нопределяет для всех пфункториальные гомоморфизмы ограничения [img: http://localhost:8080/file/021222-218.jpg] При n=0 res совпадает с вложением [img: http://localhost:8080/file/021222-219.jpg] Если G/H- некоторая факторгруппа группы G, то подъем коциклов с G/H на G индуцирует функториальные гомоморфизмы инфляции [img: http://localhost:8080/file/021222-220.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-221.jpg] - некоторый гомоморфизм. Тогда любой G-модуль Аможно превратить в G'-модуль, полагая для [img: http://localhost:8080/file/021222-222.jpg] g' a=j(g')a. Комбинируя отображения res и inf, получают отображения Hn(G, A) [img: http://localhost:8080/file/021222-223.jpg] Hn(G', А). В этом смысле H->(G, А)является контравариантным функтором по G. Если П - некоторая группа автоморфизмов группы G, то группы Hn(G, A)можно превратить в П-модули. Напр., если Н- нормальный делитель в G, то группы Н п(Н, А)можно снабдить естественной структурой G/H-модулей. Это возможно благодаря тому, что внутренние автоморфизмы группы G индуцируют тождественные отображения на группах Hn(G, А). В частности, для нормального делителя [img: http://localhost:8080/file/021222-224.jpg] Пусть Н- подгруппа группы G конечного индекса. Тогда отображение нормы [img: http://localhost:8080/file/021222-225.jpg] позволяет, при помощи сдвига размерностей, определить для всех пфункториальные гомоморфизмы коограничения [img: http://localhost:8080/file/021222-226.jpg] удовлетворяющие соотношению cores-res= (G: Н). Если Н- нормальный делитель в G, то существует спектральная последовательность Линдона, со вторым членом [img: http://localhost:8080/file/021222-227.jpg] сходящаяся к когомологиям [img: http://localhost:8080/file/021222-228.jpg] (см. [1], гл. 2). В малых размерностях она приводит к точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/021222-229.jpg] где tr - отображение трансгрессии. Для конечной группы G норменное отображение NG: [img: http://localhost:8080/file/021222-230.jpg] индуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/021222-231.jpg] H0(G, A) [img: http://localhost:8080/file/021222-232.jpg] H0(G, А), где H0(G, A)-=A/JGA и JG- идеал кольца %(G), порожденный всеми элементами вида g-1 для [img: http://localhost:8080/file/021222-233.jpg] Отображение Nq позволяет срастить точные последовательности когомологий и гомологии. Точнее, можно определить модифицированные группы когомологий - [img: http://localhost:8080/file/021222-234.jpg] (называемые также когомологиям и Тейта) для всех целых п. При этом [img: http://localhost:8080/file/021222-235.jpg] Для этих когомологий существует точная бесконечная в обе стороны когомологическая последовательность. G-модуль А наз. когомологически тривиальным, если [img: http://localhost:8080/file/021222-236.jpg] для всех пи любой подгруппы [img: http://localhost:8080/file/021222-237.jpg] Модуль Акогомологически тривиален тогда и только тогда, когда для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/021222-238.jpg] =0 и [img: http://localhost:8080/file/021222-239.jpg] для любой подгруппы НМ G. Любой модуль Аможно представить как подмодуль или фактормодуль когомологически тривиального модуля, что позволяет применять сдвиг размерностей как для повышения, так и для понижения размерности. В частности, сдвиг размерностей позволяет определить отображения res и cores (но не inf) для всех целых п. Для конечно порожденного G-модуля Агруппы [img: http://localhost:8080/file/021222-240.jpg] конечны. Группы [img: http://localhost:8080/file/021222-241.jpg] аннулируются умножением на порядок G, а отображения [img: http://localhost:8080/file/021222-242.jpg] индуцированные ограничениями, где Gp- некоторая силовская р-подгруппа группы G, мономорфны. Это позволяет сводить ряд вопросов о когомологиях конечных групп к рассмотрению когомологий р-групп. Когомологии циклической группы имеют период 2, т. е. для любого п [img: http://localhost:8080/file/021222-243.jpg] Для любых целых n и m определено отображение (наз. [img: http://localhost:8080/file/021222-244.jpg] -произведением) [img: http://localhost:8080/file/021222-245.jpg] где тензорное произведение групп Аи Врассматривается как G-модуль. В частном случае, когда А- кольцо, и операции из группы Gявляются автоморфизмами, то [img: http://localhost:8080/file/021222-246.jpg] -произведение превращает группу [img: http://localhost:8080/file/021222-247.jpg] (G, А) в градуированное кольцо. Теорема двойственности для [img: http://localhost:8080/file/021222-248.jpg] -произведения утверждает, что для любой полной абелевой группы Си G- модуля А [img: http://localhost:8080/file/021222-249.jpg] -произведение [img: http://localhost:8080/file/021222-250.jpg] определяет изоморфизм между группами [img: http://localhost:8080/file/021222-251.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021222-252.jpg] (см. [2]). [img: http://localhost:8080/file/021222-253.jpg] -произведение определено и для бесконечной группы Gпри условии, что п, m>0. Многие задачи приводят к необходимости рассмотрения когомологий топологич. группы G, непрерывно действующей на топологич. модуле А. В частности, если G- проконечная группа (случай наиболее близкий конечным группам) и А- дискретная абелева группа, являющаяся непрерывным G-модулем, то можно рассмотреть когомологии группы Gс коэффициентами в А, вычисляемые в терминах непрерывных коцепей [5]. Эти группы можно определить также как пределы lim Hn(G/U, AU)относительно отображений инфляции, где Uпробегает все открытые нормальные делители в G. Эти когомологии обладают всеми основными свойствами когомологий конечных групп. Если G- про-р-группа, то размерности над Z/pZ первой и второй групп ее когомологий с коэффициентами в z/pZ интерпретируются как минимальное число образующих и соотношений (между этими образующими) группы G. О различных вариантах непрерывных когомологий, а также нек-рых других типах групп когомологий см. [6]. О К. г. с неабелевой группой коэффициентов см. Неабелевы когомологии.