Когомологическая операция

- естественное преобразование одних когомологич. функторов в другие (чаще всего - в себя). Когомологической операцией-типа (n, m; p, G), п, то - целые числа, я, G- абелевы группы, наз. такое семейство заданных для любого пространства Xотображений (не обязательно гомоморфизмов) групп когомологий [img: http://localhost:8080/file/021223-43.jpg] что для любого непрерывного отображения f: X [img: http://localhost:8080/file/021223-44.jpg] Y, [img: http://localhost:8080/file/021223-45.jpg] (естественность). Множество всех К. о. типа (п, m; p, G)образует абелеву группу относительно сложения: (q+y)X=qX+yX, обозначаемую О(п, m; p, G). Примеры К. о.: Стинрода приведенные степени Sq' и [img: http://localhost:8080/file/021223-46.jpg] Понтрягина квадратПостникова [img: http://localhost:8080/file/021223-47.jpg] квад рат;возведение в к-ю степень mk: для [img: http://localhost:8080/file/021223-48.jpg] где p - кольцо, mk(x) = xk, [img: http://localhost:8080/file/021223-49.jpg] гомоморфизм Бокштейна b; К. о., индуцированные гомоморфизмами [img: http://localhost:8080/file/021223-50.jpg] групп коэффициентов, например mod [img: http://localhost:8080/file/021223-51.jpg] К. Тогда [img: http://localhost:8080/file/021223-58.jpg] что невозможно; в частности q(0)=О. 2) Существенно ли отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-59.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/021223-60.jpg] Тогда (при [img: http://localhost:8080/file/021223-61.jpg]) Н т+1(С f;G) = G, Hn(Cf;.p) = p. Если существует К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-62.jpg] (n, m+1; p, G)с [img: http://localhost:8080/file/021223-63.jpg] то f существенно. В этом случае операция q детектирует отображение f или элемент [img: http://localhost:8080/file/021223-64.jpg] Имеет место изоморфизм группы О (n, m; p, G) [img: http://localhost:8080/file/021223-65.jpg] Н т (К(p, n); G), где К(p, п)- Эйленберга- Маклейна пространство, и потому О(п, т;p, G) [img: http://localhost:8080/file/021223-66.jpg] [K(p, п), K(G,m)] (см. П редставимый функтор). Группы Н т (К(p, n); G)вычислены для всех ти пи любых конечно порожденных p и G[9]. Когомологическая надстройка [img: http://localhost:8080/file/021223-67.jpg] над К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-68.jpg] определяется отображением 1qX, заданным композицией [img: http://localhost:8080/file/021223-69.jpg] где SX- надстройка над X. Напр., [img: http://localhost:8080/file/021223-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021223-71.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021223-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021223-73.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/021223-74.jpg] есть изоморфизм. Для любого X1qX есть гомоморфизм групп. Стабильной (или стационарной) когомологической операцией типа (p, G)степени кназ. набор [img: http://localhost:8080/file/021223-75.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/021223-76.jpg] (n, п+k;p, G)и [img: http://localhost:8080/file/021223-77.jpg] Такие К. о. образуют абелеву группу О S(k;p, G), изоморфную группе [img: http://localhost:8080/file/021223-78.jpg] - обратному пределу последовательности [img: http://localhost:8080/file/021223-79.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/021223-80.jpg] обозначается OS(p, G). Примеры стабильных К. о.: степени Стинрода [img: http://localhost:8080/file/021223-81.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021223-82.jpg] р>2 - простое, и гомоморфизмы Бокштейна b [img: http://localhost:8080/file/021223-83.jpg] OS(1; Z т, Z т). Если [img: http://localhost:8080/file/021223-84.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021223-85.jpg] то определена К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-86.jpg] В частности, можно определить композицию [img: http://localhost:8080/file/021223-87.jpg] любых двух стабильных К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-88.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021223-89.jpg] так что группа OS(p, p) является кольцом; О S(Z р, Z р)наз. Стинрода алгеброй А p. К. о. впервые появилась при решении задачи классификации отображений (n+1)-мерного полиэдра в п- мерную сферу (n=2 в [1] и n>2 в [2]). Теорема классификации [2]. Имеет место точная последовательность групп: [img: http://localhost:8080/file/021223-90.jpg] Теорема продолжения [2]. Пусть Y- (п+2)-мерный полиэдр, Yn+1- его (n+1)-мерный остов. Отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-91.jpg] определяет элемент [img: http://localhost:8080/file/021223-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021223-93.jpg] - образующая. Это отображение продолжается до g: Y->Sn тогда и только тогда, когда Sq2 (уmod 2) = 0. Отвечающее К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-94.jpg] отображение q: К(p, n)->K(G, m) из стандартного Серра расслоения [img: http://localhost:8080/file/021223-95.jpg] индуцирует расслоение [img: http://localhost:8080/file/021223-96.jpg] Вторичные когомологические операции - классы когомологнй пространств Е(в). Более точно, пусть задан элемент [img: http://localhost:8080/file/021223-97.jpg] Н- абелева группа. Для любого [img: http://localhost:8080/file/021223-98.jpg] с qX(u)=0 существует [img: http://localhost:8080/file/021223-99.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021223-100.jpg] [ Х, В]- индуцированное ротображение, и элемент [img: http://localhost:8080/file/021223-101.jpg] зависящий от выбора элемента и. Произвол в выборе иопределяется прообразом р -1(u), т. е. орбитой действия группы [X, F]=Hm-1 (X; G)на множестве [X, Е(q)]. При т<2п-1 и q<2n-1 [img: http://localhost:8080/file/021223-102.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021223-103.jpg] будут гомоморфизмами групп, и потому при другом выборе иэлемент vможет измениться лишь на нек-рый элемент подгруппы [img: http://localhost:8080/file/021223-104.jpg] Hq (Х; H)) = Q группы Н q (Х; Н). Определим вторичную К. о. Ф, полагая Ф X (и)= и+Q (смежный класс u+Q однозначно определен элементом и). Таким образом, отображение Ф X определено на подгруппе Кеr qX и принимает значения в факторгруппе Hq(X; H)/Q, где Qназ. неопределенностью К. о. Ф. Другое название: Ф - частичная многозначная К. о. из Hn(.; p) в Hq (Х; Н). Вторичные К. о. естественны в следующем смысле: для любого [img: http://localhost:8080/file/021223-105.jpg] и любого [img: http://localhost:8080/file/021223-106.jpg] имеет место: [img: http://localhost:8080/file/021223-107.jpg] [3]. Если i*(j) = 0, то j=р*(q') для нек-рой [img: http://localhost:8080/file/021223-108.jpg] так что u*(j)=q'(u), и потому Фu=u*(q')=q'(u) с нулевой неопределенностью. При этом для К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-109.jpg] с р*(q") = Ф и элемента [img: http://localhost:8080/file/021223-110.jpg] выполнено q' (и)=q"(и), так что К. о. Ф является однозначной К. о. q', ограниченной на Кеr q. Каждой вторичной К. о. отвечает нек-рое соотношение между обычными (примарными) К. о. Если q<2m-1, то К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-111.jpg] a) однозначно представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/021223-112.jpg] (K(G, m+1); б)и yоq=0. Если [img: http://localhost:8080/file/021223-113.jpg] в). такова, что i*(j-j')=0, то К. о. Ф' отвечает то же самое соотношение [img: http://localhost:8080/file/021223-114.jpg] Обратно, любому соотношению вида [img: http://localhost:8080/file/021223-115.jpg] отвечает множество вторичных К. о. {Ф}, любые две из к-рых отличаются друг от друга на прима рную К. о., определенную на ядре К. о. q. Более общее понятие вторичной К. о. получается, если исходить из набора q=(q1,..., qn) с [img: http://localhost:8080/file/021223-116.jpg] (К(p, n); G)и соотношения [img: http://localhost:8080/file/021223-117.jpg] (см. [3]). Пример вторичной К. о. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021223-118.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/021223-119.jpg] Z2)-Z2 -образующая. Возникает вторичная К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-120.jpg] соответствующая соотношению [img: http://localhost:8080/file/021223-121.jpg] Она позволяет классифицировать отображения (n+2)-мерного полиэдра в га-мерную сферу, п>2. Решение соответствующей задачи продолжения таково. Пусть Y-(n-3)-мерный полиэдр и пусть дано отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-122.jpg] так что имеется элемент [img: http://localhost:8080/file/021223-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021223-124.jpg] Для продолжения f на Yn+2 необходимо условие Sq2(ymod 2)=0; если f продолжается на Yn+2, то на уопределена a. Оказывается, что f можно продолжить на Yтогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021223-125.jpg] При этом a. детектирует отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-126.jpg] являющееся композицией надстроек над отображением Хопфа [img: http://localhost:8080/file/021223-127.jpg] и задающее образующую группы pn+2 (Sn)=Z2. С помощью вторичных К. о. было дано также первое решение проблемы "нечетного инварианта Хопфа" [7]. Для отображения [img: http://localhost:8080/file/021223-128.jpg] инвариант Xопф а [img: http://localhost:8080/file/021223-129.jpg] определяется формулой и 2=Н(f)v, где [img: http://localhost:8080/file/021223-130.jpg] - образующие. Нечетность H(f)равносильна условию [img: http://localhost:8080/file/021223-131.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021223-132.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/021223-133.jpg] операция [img: http://localhost:8080/file/021223-134.jpg] разложима в классе примарных операций, т. е. [img: http://localhost:8080/file/021223-135.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021223-136.jpg] так что Н(f) может быть нечетным лишь при n=2s. Но в классе вторичных операций [img: http://localhost:8080/file/021223-137.jpg] разложимы при [img: http://localhost:8080/file/021223-138.jpg] и поэтому Н(f)нечетно лишь при n=2, 4, 8. Наряду с вторичными К. о. существуют третичные К. о. и вообще К. о. любого порядка. Примарной операции q и элементу [img: http://localhost:8080/file/021223-139.jpg] определяющим вторичную К. о. Ф, отвечает отображение Е(q) [img: http://localhost:8080/file/021223-140.jpg] К(Н; q), индуцирующее из расслоения Серра над К(Н; q)расслоение [img: http://localhost:8080/file/021223-141.jpg] при этом Е(Ф) наз. пространством когомологической операции Ф. Имея класс когомологий [img: http://localhost:8080/file/021223-142.jpg] можно построить третичную К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-143.jpg] определенную на Кеr Ф, неопределенность к-рой (при подходящих размерностных ограничениях) есть Im(i*g). Этой К. о. отвечает соотношение yoФ = 0, где y - примерная К. о., [img: http://localhost:8080/file/021223-144.jpg] Индуктивное продолжение этого процесса приводит к определению когомологической операции n-го порядка. Иными словами, для К. о. x га-го порядка, пространство к-рой есть Е(x), и элемента [img: http://localhost:8080/file/021223-145.jpg] строится К. о. (n+1)-го порядка Л, определенная на Кег x. При этом пространство Е(Л) является пространством расслоения, индуцированного из расслоения Серра над К(С, s)отображением l: [img: http://localhost:8080/file/021223-146.jpg] Построена [12] аксиоматика высших К. о. Простейшими примерами высших К. о. являются высшие гомоморфизмы Бокштейна. Пусть дана точная последовательность групп [img: http://localhost:8080/file/021223-147.jpg] и соответствующая точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021223-148.jpg] Гомоморфизм b= [img: http://localhost:8080/file/021223-149.jpg] и есть гомоморфизм Бокштейна; [img: http://localhost:8080/file/021223-150.jpg] Имеет место [img: http://localhost:8080/file/021223-151.jpg] этому соотношению отвечает вторичная К. о. (b2. При этом [img: http://localhost:8080/file/021223-152.jpg] так что возникает третичная К. о. b3. И вообще br- это К. о. порядка г, построенная по соотношению [img: http://localhost:8080/file/021223-153.jpg] При этом br определен на Кеr br-1- Явное описание К. о. br выглядит так: пусть [img: http://localhost:8080/file/021223-154.jpg] и пусть с- представляющий его коцикл с коэффициентами в Zp;равенство br_1x=0 означает, что существует целочисленный представитель z коцикла с, кограница dz которого делится на р r. Тогда br х - класс когомологий mod pкоцикла [img: http://localhost:8080/file/021223-155.jpg] Таким образом, информация о действии высших К. о. Бокштейна в группах Н* (Х; Zp). позволяет полностью вычислить свободную часть и р-компоненту группы Н* (Х) = Н* (Х; Z). Каждой частичной К. о. Ф отвечает гомотопически простое пространство Е(Ф)с конечным числом (нетривиальных) гомотопич. групп. Обратно, каждому такому пространству Еможно сопоставить К. о. Ф, для к-рой Еи Е(Ф)слабо гомотопически эквивалентны, [img: http://localhost:8080/file/021223-156.jpg] Напр., если Е- пространство с двумя нетривиальными гомотопич. группами p п (Е)=p, p т (E) = G,m>n, то имеется отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-157.jpg] индуцирующее изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021223-158.jpg] Это отображение можно превратить в расслоение, слоем к-рого будет K(G, m);это расслоение индуцируется из расслоения Серра над K(G,m+1) нек-рым отображением [img: http://localhost:8080/file/021223-159.jpg] последнее задает К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-160.jpg] (n, m+1; l, G). Эти соображения позволяют описать слабый гомотопич. тип любого пространства, сопоставив ему набор частичных К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-161.jpg] наз. его n-ми постниковскими факторами (см. Постникова системы). Напр., для сферы Sn, n>3, первым постниковским фактором является Sq2, а вторым - а. Другим важным типом К. о. являются функциональные когомологические операции [3]. Для их определения задается отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-162.jpg] ("функция") и К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-163.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/021223-164.jpg] 0 лежит в образе когомологич. надстройки и является гомоморфизмом групп. Если f - замкнутое вложение (корасслоение) и f: [img: http://localhost:8080/file/021223-165.jpg] -включение, то функциональная К. о. [img: http://localhost:8080/file/021223-166.jpg] определяется как частичное многозначное отооражение [img: http://localhost:8080/file/021223-167.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021223-168.jpg] Эта К. о. определена на подгруппе [img: http://localhost:8080/file/021223-169.jpg] группы Н n(Х, я), а ее неопределенность есть подгруппа [img: http://localhost:8080/file/021223-170.jpg] группы Hn-1(Y; G). Конструкция функциональной К. о. естественна по f. Пример: если для отображения [img: http://localhost:8080/file/021223-171.jpg] существует такая (примарная) К. о. В и такой класс когомологий ипространства X, что qf(u). определена и [img: http://localhost:8080/file/021223-172.jpg] то отображение f существенно. Функциональные и вторичные К. о. связаны между собой формулами Петерсона - Штейна (см. [3]), позволяющими в ряде случаев сводить вычисление вторичных К. о. к вычислению примарных и функциональных К. о. Существуют также функциональные К. о. высшего порядка [6]. Конструкцией, аналогичной по построению и приложениям высшим К. о., является Масси произведение. Понятие К. о. было перенесено и в обобщенные теории когомологий. К. о. типа (n, т)в обобщенной теории когомологий h* наз. естественное по Xпреобразование [img: http://localhost:8080/file/021223-173.jpg] Эти К. о. образуют группу, изоморфную группе hm(Mn), где {Mk, sk} -W-спектр, представляющий теорию h*. Группа всех стабильных К. о. является (относительно композиции) кольцом Ah, так что h*(X)- естественный по XAh -модуль. Понятия частичной и функциональной К. о. также имеют аналоги в обобщенных теориях когомологий. С помощью частичных К. о. в обычной теории когомологий можно решить в принципе любую гомотопич. задачу, однако практич. применение К. о. порядка n>3 весьма трудоемко. В то же время часто бывает, что задача, требующая для своего решения обычных К. о. высшего порядка, может быть решена применением примарных К. о. в подходяще выбранной обобщенной теории когомологий. Напр., проблема "инварианта Хопфа" легко решается с помощью примарных когомологич. операций Адамса yk в K-теории [10]. Эти К. о., введенные [8] для решения задачи о векторных полях на сферах, явились первым примером К. о. в обобщенной теории когомологий. Алгебра Ah вычислена [4] для h=U*- теории унитарных кобордизмов и использована при построении спектральной последовательности типа Адамса, начальный член к-рой есть когомологий алгебры А U. Информация о действии кольца Ah в группах k*(X)оказывается полезной при вычислении спектральной последовательности Атья - Хирцебруха в теории h*[11].