Кокстера группа

- группа с отмеченной системой образующих [img: http://localhost:8080/file/021225-66.jpg] допускающая определяющую систему соотношений [img: http://localhost:8080/file/021225-67.jpg] где nii=1 (так что [img: http://localhost:8080/file/021225-68.jpg] при любом i) и nij =nji при [img: http://localhost:8080/file/021225-69.jpg] - целое число [img: http://localhost:8080/file/021225-70.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021225-71.jpg] (в последнем случае соотношения между ri и rj нет). При этих условиях nij совпадает с порядком элемента rirj. Если nij= 2, то ri и rj коммутируют. Матрица (nij), [img: http://localhost:8080/file/021225-72.jpg] наз. матрицей Кокстера данной К. г. Эта матрица (и, тем самым, группа) может быть задана посредством графа Кокстера - графа с вершинами а i [img: http://localhost:8080/file/021225-73.jpg] в к-ром вершины ai и aj соединены (nij-2)-кратным ребром, если [img: http://localhost:8080/file/021225-74.jpg] (в частности, вообще не соединены, если nij= 2), и соединены жирным ребром, если [img: http://localhost:8080/file/021225-75.jpg] В другой системе обозначений вершины ai и aj графа Кокстера соединяются простым ребром с отметкой nij. Примеры. 1. Всякая группа, порождаемая двумя элементами порядка 2, есть К. г. с графом [img: http://localhost:8080/file/021225-76.jpg] 2. Симметрическая группа Sn является К. г. относительно образующих ri=(i, i+1), i=1,..., n-1; ее граф Кокстера имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021225-77.jpg] 3. Группа PGL2(Z) = GL2(Z)/{ [img: http://localhost:8080/file/021225-78.jpg] 1} является К. г. относительно образующих [img: http://localhost:8080/file/021225-79.jpg] ее граф имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021225-80.jpg] Группа PGL2(Z)содержит подгруппу PSL2(Z)= SL2(Z)/{ [img: http://localhost:8080/file/021225-81.jpg] 1} индекса 2, изоморфную модулярной группе Клейна. Понятие К. г. возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей (см. Отражений группа, в дальнейшем - о. г.). Всякая о. г. является К. г., если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. К числу о. г. относятся Вейля группы (обычные и аффинные) полупростых групп Ли. В 1934 X. С. М. Кокстер [1] перечислил все о. г. в n-мерном евклидовом пространстве Е n и доказал, что все они являются, как говорят сейчас, К. г. В следующей работе [2] он доказал, что всякая конечная К. г. изоморфна некоторой о. г. в Е n, элементы которой имеют общую неподвижную точку, и тем самым получил классификацию конечных К. г. (см. табл. 1). Табл. 1. - Неразложимые конечные К. г. [img: http://localhost:8080/file/021225-82.jpg] Число образующих равно нижнему индексу в обозначении группы. Среди бесконечных К. г. выделяются параболические и гиперболические К. г. По определению, К. г. является параболической (соответственно гиперболической), если она изоморфна о. г. в Е п (соответственно в пространстве Лобачевского Ln), элементы к-рой не имеют общей инвариантной плоскости размерности <ге (в гиперболическом случае плоскостью следует считать и бесконечно удаленную точку). Табл. 2.-Неразложимые параболические К. г. [img: http://localhost:8080/file/021225-83.jpg] Число образующих на единицу больше индекса в обозначении группы. Параболические К. г. перечислены X. С. М. Кокстером (см. табл. 2); они возникают в теории полупростых групп Ли как аффинные группы Вейля. К. г. с k образующими является двумерной гиперболической К. г. тогда и только тогда, когда, при подходящей нумерации образующих, [img: http://localhost:8080/file/021225-84.jpg] и nij= 00 при |i-j|>1. Что касается n-мерных гиперболических К. г. при n>2, то их полное перечисление не представляется возможным, хотя были достигнуты определенные успехи в изучении наиболее важных классов таких групп (см. Отражений группа). Конечные, параболические и гиперболические К. г. и их прямые произведения составляют лишь небольшую часть К. г. Произвольная К. г. с конечным числом образующих допускает конечномерное вещественное линейное представление, указанное явно X. С. М. Кокстером [2], при к-ром образующие переходят в линейные отражения. Доказано [4], что это представление является точным, из чего вытекает, в частности, решение проблемы тождества слов в К. г. [5]. Стандартные подгруппы К. г. Пусть G - К. г. с системой образующих [img: http://localhost:8080/file/021225-85.jpg] Для любого подмножества [img: http://localhost:8080/file/021225-86.jpg] подгруппа GJ, порожденная множеством [img: http://localhost:8080/file/021225-87.jpg] является К. г., причем [img: http://localhost:8080/file/021225-88.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021225-89.jpg] Подгруппы такого вида наз. стандартными. Всякая максимальная конечная подгруппа К. г. сопряжена стандартной подгруппе. К. г. наз. неразложимой, если она не является прямым произведением двух нетривиальных стандартных подгрупп; это эквивалентно связности ее графа Кокстера. Все конечные (соответственно параболические) К. г. суть прямые произведения неразложимых К. г. того же типа; все гиперболические К. г. неразложимы. Неразложимая К. г. является конечной (соответственно параболической, гиперболической) тогда и только тогда, когда симметрическая матрица [img: http://localhost:8080/file/021225-90.jpg] положительно определенна (соответственнонеотрицательно определенна и вырождена, имеет отрицательный индекс инерции 1). В теории конечных К. г. важную роль играют так наз. показатели (см. табл. 1) - уменьшенные на единицу степени образующих инвариантов соответствующей о. г. Через показатели выражаются порядок группы, число отражений (элементов, сопряженных образующим) и пр.- см. Отражений группа. Произведение всех образующих конечной К. г. с точностью до сопряженности не зависит от порядка множителей и наз. элементом Киллпнга - Кокстера.