Колец многообразие

- класс колец M, удовлетворяющих заданной системе полиномиальных тождеств. К. м. можно определить аксиоматически, как наследственный класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и полных прямых сумм (см. Алгебраических систем многообразие). Так как совокупность полиномиальных тождеств, выполнимых в данном кольце, образует вполне характеристич. идеал (Т-идеал)свободного кольца, то существует взаимно однозначное соответствие между многообразиями колец и T-идеалами счетно порожденного свободного кольца. Если для К. м. имеет место включение [img: http://localhost:8080/file/021226-10.jpg] то говорят, что Rявляется подмногообразием в M. Многообразие, соответствующее T-идеалу тождеств кольца А, наз., многообразием, порожденным кольцом А. Каждое многообразие колец порождается своим "универсальным объектом" - свободным кольцом данного многообразия, к-рое обладает свободной системой образующих: всякое отображение множества свободных образующих в произвольное кольцо из многообразия продолжается до гомоморфизма. Пусть М п- многообразие, порожденное алгеброй квадратных матриц порядка п. Для всякого многообразия ассоциативных колец нулевой характеристики (т. е. колец, аддитивная группа к-рых без кручения) существует такое натуральное число [img: http://localhost:8080/file/021226-11.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021226-12.jpg] но [img: http://localhost:8080/file/021226-13.jpg] Многообразие колец наз. шпехтовым, если всякое его кольцо обладает конечным базисом тождеств. Многообразие, порожденное конечным ассоциативным кольцом или конечным кольцом Ли, является шпехтовым. Вопрос о том, всякое ли многообразие ассоциативных алгебр шпехтово, составляет содержание (пока открытой, 1978) проблемы Шпехта. Если многообразие [img: http://localhost:8080/file/021226-14.jpg] порождено ассоциативной алгеброй с конечным числом образующих над полем нулевой характеристики и [img: http://localhost:8080/file/021226-15.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021226-16.jpg] шпехтово. См. также РI -алгебра.