Колмогорова двойственность

- двойственность в алгебраич. топологии, состоящая в изоморфизме [img: http://localhost:8080/file/021226-32.jpg] г-мерной группы гомологии Н r(A, G) замкнутого множества Ахаусдорфова локально компактного пространства Rс нулевыми r- и (r+1)-мерными группами гомологии (r+1)-мерной группе гомологии с абелевой группой коэффициентов G дополнения [img: http://localhost:8080/file/021226-33.jpg] и в изоморфизме [img: http://localhost:8080/file/021226-34.jpg] соответствующих групп когомологии при Hr(R,G)=0 и Hr+1(R, G)=0. Группы гомологии и когомологии, участвующие в этих изоморфизмах, определяются так. За r-мерную цепь принимается любая кососимметрическая, аддитивная относительно каждого аргумента функция cr(e0, e1,..., е r)от r+1 подмножеств пространства R, имеющих компактные замыкания, принимающая значения из G и равная нулю, когда пересечение [img: http://localhost:8080/file/021226-35.jpg] пусто. Граничный оператор допределяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/021226-36.jpg] где U- любое открытое множество из Л с компактным замыканием, содержащее [img: http://localhost:8080/file/021226-37.jpg] Циклами считаются цепи с r с нулевыми границами, [img: http://localhost:8080/file/021226-38.jpg] а циклами, гомологичными нулю,- цепи с r, являющиеся границами, с r=дс r+1. Группа Zr(R, G)всех r-мерных циклов по обычному сложению функций содержит группу Br(R, G)всех r-мерных границ в качестве подгруппы, факторгруппа Zr(R, G)/Br(R, G)и есть группа Hr(R, G). Группу Gкоэффициентов А. Н. Колмогоров всегда рассматривал как компактную группу и компактно топологизировал и группу гомологии. Однако на построение группы гомологии топология группы коэффициентов не оказывает влияния, и гомологии можно брать над любой абелевой группой. Для определения коцепей рассматриваются такие кососимметрические функции f(x0, х 1,..., х r). от r+1 точек х 0, x1,..., х r пространства Rсо значениями в G, что для каждой fr существует конечная система Sfr попарно непересекающихся подмножеств из Rс компактными замыканиями, удовлетворяющая условиям: f(x0,..., xr)=f(x'o,..., x'r), если xi и х'i принадлежат одному и тому же элементу системы Sfr для любого i; fr(x0,..., х r) = 0, если хотя бы одно х; не содержится ни в каком элементе из Sfr. Кограничный оператор d определяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/021226-39.jpg] Функции [img: http://localhost:8080/file/021226-40.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021226-41.jpg] считаются эквивалентными, если каждая точка х из Rимеет такую окрестность U, что f1r(x0,..., xr)=f2r(x0,..., х r), как только все х i принадлежат U, и за коцепь принимается класс эквивалентных функций. Кограница коцепи определяется как класс кограниц входящих в эту коцепь функций. Коцикл есть коцепь с r с нулевой кограницей, d с r=0, а когомологичным нулю считается коцикл, являющийся кограницей, с r=d с r-1. Группа Br(R, G)всех r-мерных кограниц есть подгруппа группы Zr(R, G)всех r-мерных коциклов; факторгруппа Zr(R, G)/Br(R, G)и есть группа Hr(R, G). Определенные так группы гомологии и когомологии, часто называемые функциональными, были введены А. Н. Колмогоровым [1]. Тогда же, кроме выше указанных изоморфизмов двойственностей, им были доказаны двойственность между гомологиями и когомологиями Hr(R, G*)|Hr(R, G)в смысле теории характеров Понтрягина, когда компактная группа G* двойственна группе G, и двойственности Пуанкаре [img: http://localhost:8080/file/021226-42.jpg] где R - открытое n-мерное многообразие, Hr(R,G*) и Hr(R, G) - функциональные группы над компактной (соответственно, дискретной) группой G* (соответственно G), [img: http://localhost:8080/file/021226-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021226-44.jpg] - группы когомологии (соответственно гомологии) бесконечных коцепей (соответственно конечных цепей) произвольного клеточного разбиения многообразия R. В случае, когда Rесть га-мерное евклидово пространство, из указанных двойственностей получается теорема двойственности Понтрягина (см. Александера двойственность). Частным случаем этих двойственностей является и теорема двойственности Стинрода (см. Двойственность в алгебраич. топологии), поскольку К. д. для гомологии справедлива и для произвольной группы коэффициентов [2]. Функциональные группы гомологии изоморфны: группам Вьеториса (см. Вьеториса гомологии)в случае компактных метрич. пространств и компактной группы коэффициентов [1]; спектральным группам гомологии Александрова относительно особых подкомплексов [3] в случае локально компактных пространств и компактной группы коэффициентов [4] и, следовательно: группам гомологии Александрова - Чеха одноточечной компактификации данного локально компактного пространства [5]; группам гомологии Стинрода [8] в случае компактных метрич. пространств и произвольной группы коэффициентов [7]. Таким образом, гомологии Колмогорова, введенные на четыре года раньше гомологии Стинрода, представляют собой и их обобщение на более широкий класс пространств. Функциональные гомологии и когомологии удовлетворяют всем Стинрода- Эйленберга аксиомам на категории локально компактных пространств с допустимыми отображениями (т. е. когда прообраз каждого компактного множества компактен) [6] и, кроме того, двум аксиомам Милнора на категории компактных метрич. пространств [7].