Колмогорова критерий

- статистический критерий, применяемый для проверки простой непараметрической гипотезы Н 0, согласно к-рой независимые одинаково распределенные случайные величины Х 1,..., Х п имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x), причем альтернативная гипотеза Н 1 предполагается двусторонней: [img: http://localhost:8080/file/021226-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021226-48.jpg] - математическое ожидание функции эмпирического распределения Fn(x). Критическое множество К. к. выражается неравенством [img: http://localhost:8080/file/021226-49.jpg] и основано на теореме, доказанной А. Н. Колмогоровым в 1933: в случае справедливости гипотезы Н 0 распределение статистики Dn не зависит от функции F(x), причем если [img: http://localhost:8080/file/021226-50.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021226-51.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021226-52.jpg] В 1948 Н. В. Смирнов [4] табулировал функцию распределения Колмогорова К(l). Согласно К. к. с уровнем значимости a, 0<a<0,5, гипотезу Н 0 следует отвергнуть, если [img: http://localhost:8080/file/021226-53.jpg] где ln(a) - критическое значение К. к., соответствующее заданному уровню значимости а и являющееся корнем уравнения [img: http://localhost:8080/file/021226-54.jpg] Для определения ln(a) рекомендуется пользоваться аппроксимацией допредельного закона статистики Колмогорова Dn ее предельным распределением; см. [3], где показано, что если [img: http://localhost:8080/file/021226-55.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021226-56.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021226-57.jpg] Применение аппроксимации (*) дает следующее приближение критического значения [img: http://localhost:8080/file/021226-58.jpg] где z - корень уравнения [img: http://localhost:8080/file/021226-59.jpg] На практике для вычисления значения статистики Dn пользуются тем обстоятельством, что [img: http://localhost:8080/file/021226-60.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021226-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021226-62.jpg] - вариационный ряд, построенный по выборке X1,...,Х п. К. к. имеет следующее геометрич. истолкование (см. рис.). [img: http://localhost:8080/file/021226-63.jpg] Изобразим на плоскости хОу графики функций Fn(x), [img: http://localhost:8080/file/021226-64.jpg] Заштрихованная область является доверительной зоной уровня 1-a. для функции распределения F(x), так как если гипотеза Н 0 верна, то согласно теореме Колмогорова [img: http://localhost:8080/file/021226-65.jpg] Если график функции F(x)не выходит из заштрихованной области, то по К. к. с уровнем значимости а гипотезу H0 следует принять, в противном случае гипотеза H0 отвергается. К. к. дал мощный толчок развитию математич. статистики, в результате чего были получены совершенно новые методы статистич. исследований, к-рые легли в основу непараметрич. статистики.